##  [Transformación Natural](/es/node/59347) 

 Definición

Una familia de morfismos (llamadas componentes) η_X : F(X) → G(X) indexada por los objetos X de una categoría fuente, que conecta dos funtores F,G : C → D, tal que para todo morfismo f : X → Y en C el cuadrado G(f) ∘ η_X = η_Y ∘ F(f) conmuta. Expresa una aplicación coherente, por objeto, entre funtores.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

La transformación natural es el dato que hace que la correspondencia entre funtores sea compatible con la estructura interna de la categoría fuente; la naturalidad impone que las componentes conmuten con la acción de los morfismos.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Tome los funtores List, Id : Conj → Conj donde List(X) es el conjunto de listas finitas de elementos de X e Id(X)=X. La función que da la longitud de una lista no es una transformación natural hacia Id, pero la función que devuelve la cabeza de la lista define una transformación natural head : List → Maybe (con Maybe(X)=X∪{nil}) con componentes head_X(lista)=primer elemento o nil; para toda función f : X→Y la cabeza después de aplicar f coincide con aplicar f a la cabeza, por lo que el cuadrado de naturalidad conmuta.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Tratar cualquier colección de maps η_X : F(X)→G(X) como transformación natural sin verificar la conmutatividad —por ejemplo definiendo componentes que dependen de representantes internos de objetos— viola la naturalidad y es solo una familia, no una transformación natural.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Cuando existe una transformación natural, proporciona una forma uniforme y que preserva la estructura de comparar funtores; pueden componerse vertical y horizontalmente, conduce a la noción de isomorfismo natural y de equivalencia, y organiza los funtores en la categoría Fun(C,D).

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

La inversión es una familia de mapas que no conmuta con los morfismos; invertir la condición de conmutación conduce a componentes arbitrarias y no coherentes (una familia no natural).

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Se aplica solo a pares de funtores con la misma categoría fuente y objetivo y a mapas indexados por objetos; excluye correspondencias punto a punto que no satisfacen naturalidad o transformaciones entre funtores con distinta fuente u objetivo.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Términos cercanos: 'mapa componente' (una mera familia de mapas) e 'isomorfismo natural' (transformación natural cuyas componentes son isomorfismos). La tensión es entre la definición por objeto y el requisito adicional de conmutar con morfismos.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

Una transformación natural es la colección coherente y respetuosa con los morfismos de mapas por objeto que compara dos funtores de la misma fuente a la misma meta, y constituye la noción elemental de morfismo entre funtores en teoría de categorías.