##  [Adjunción](/es/node/59349) 

 Definición

Dato un par de funtores L : C → D y R : D → C junto con, para cada X en C y Y en D, una biyección natural Hom_D(L(X),Y) ≅ Hom_C(X,R(Y)) natural en X e Y. Equivalente mediante transformaciones naturales unidad y counidad que satisfacen las identidades triangulares. Expresa una relación de mejor aproximación universal: L es adjunto a la izquierda de R y R adjunto a la derecha de L.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

La adjunción formaliza una correspondencia universal entre morfismos a través de categorías: mapear desde un adjunto izquierdo equivale a mapear hacia un adjunto derecho, y unidad/counidad dan flechas universales que median la aproximación.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Adjunción libre‑olvido entre Conj y Grupo: el functor izquierdo F asigna a un conjunto S el grupo libre generado por S; el functor derecho U es el functor olvido U(G)=conjunto subyacente de G. Para cualquier conjunto S y grupo G, los homomorfismos de grupos F(S)→G corresponden naturalmente a aplicaciones de conjuntos S→U(G). La unidad inserta generadores, la counidad evalúa la aplicación universal.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Suponer que cualquier par de funtores con una correspondencia componente a componente entre conjuntos de morfismos constituye una adjunción sin comprobar naturalidad o identidades triangulares. También confundir adjunción con inversa estricta: los adjuntos no tienen por qué ser inversos ni plenamente fieles.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Las adjunciones generan construcciones universales (objetos libres, co‑libres, (co)límites), inducen mónadas y comónadas, y controlan la existencia de ciertos (co)límites y situaciones de reflexión/coreflexión; unifican muchas construcciones en matemáticas.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Invertir la biyección invierte la dirección de la adjunción (intercambiar izquierda y derecha). Negar la naturalidad o las identidades triangulares reduce la estructura a correspondencias informales sin propiedades universales.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Las adjunciones requieren funtores entre categorías dadas y naturalidad en ambas variables; no afirman isomorfismo de categorías, y adjuntos izquierdos/derechos pueden no existir o ser únicos solo hasta isomorfismo.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Significados cercanos: 'functor inverso' (inverso estricto) vs 'adjunto' (correspondencia universal más débil). La tensión aparece porque los adjuntos a menudo se comportan como inversos en ciertos objetos pero no son equivalencias en general.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

Una adjunción es la expresión categórica de una dualidad de mejor aproximación entre dos funtores, dada por una biyección natural de conjuntos de morfismos o por unidad/counidad que satisfacen identidades triangulares, unificando muchas construcciones universales.