## [Transformée de Fourier](/fr/node/57660) Définition Une transformée intégrale linéaire qui envoie une fonction de temps ou d'espace sur une fonction de fréquence, représentant l'original comme une superposition de composantes sinusoïdales. ## Principe Principe Décomposer les signaux en composantes fréquentielles orthogonales de sorte que les opérations linéaires (convolution, dérivation) deviennent des manipulations algébriques en coordonnées de fréquence. ## Démonstration Démonstration La transformée de f(x)=exp(-a x^2) (a>0) donne une autre gaussienne en fréquence ; la convolution de deux fonctions L1 correspond au produit point par point de leurs transformées. ## Mauvaise application Mauvaise application Appliquer la transformée à une distribution non tempérable sans préciser l'extension distributionnelle, ou traiter une transformée qui ne converge que au sens des distributions comme une fonction ponctuelle ordinaire. ## Conséquence Conséquence Fournit des représentations spectrales, simplifie les équations différentielles linéaires et donne des identités de type Parseval reliant l'énergie dans les domaines temporel et fréquentiel. ## Inversion Inversion La transformée inverse reconstruit la fonction temporelle ou spatiale originale à partir de sa représentation fréquentielle ; l'absence d'inversibilité indique un défaut dans les hypothèses sur le domaine. ## Limite Limite Définie classiquement pour les fonctions intégrables ou carrément intégrables et étendue aux distributions tempérées ; ne s'applique pas comme opération ponctuelle à des généralisées non tempérables. ## Tension sémantique Tension sémantique Souvent comparée à la transformée de Laplace : les deux mappent vers des variables de type fréquence mais diffèrent par les domaines de convergence et le traitement de la croissance à l'infini. ## Synthèse Synthèse Une application linéaire canonique entre descriptions temporelles/spatiales et fréquentielles qui encode une fonction en composantes sinusoïdales pondérées et transforme convolution/différenciation en multiplication/opérations algébriques.