##  [Exposant de Lyapunov](/fr/node/57662) 

 Définition

Un nombre réel quantifiant le taux exponentiel moyen auquel des trajectoires voisines d'un système dynamique se séparent (positif) ou convergent (négatif) selon une direction donnée.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Linéariser le flot le long d'une trajectoire et mesurer les taux de croissance à long terme des perturbations via la croissance logarithmique des vecteurs tangents divisée par le temps.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour l'application logistique à des paramètres montrant du chaos, l'exposant maximal calculé numériquement est positif, indiquant une sensibilité aux conditions initiales sur de longues itérations.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Estimer un exposant global à partir de données de courte durée sans tenir compte de la non-stationnarité ou ne pas distinguer l'exposant maximal des taux d'expansion transitoires.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Un exposant maximal positif implique une sensibilité exponentielle et une imprédictibilité typique pour des conditions initiales voisines ; des exposants négatifs indiquent une attraction locale asymptotique.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Si tous les exposants de Lyapunov sont strictement négatifs, la trajectoire est uniformément attractive ; un changement de signe d'un exposant dominant peut marquer une transition vers l'instabilité ou le chaos.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Défini pour les trajectoires des systèmes dynamiques continus ou discrets où la linéarisation et les limites de type Oseledec existent ; peut être indéfini ou dépendre de la trajectoire pour des systèmes non lisses ou non autonomes sans hypothèses ergodiques.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Souvent comparé à des mesures globales de complexité : un exposant quantifie des taux exponentiels locaux le long de directions, pas la croissance totale d'information du système.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Une métrique des croissances ou décroissances exponentielles à long terme de perturbations infinitésimales le long d'une trajectoire qui diagnostique la stabilité et les chemins vers le comportement chaotique.