##  [Point Fixe](/fr/node/57697) 

 Définition

Un point x d'un ensemble S tel qu'une application f : S → S vérifie f(x) = x ; un élément qui reste inchangé par l'action de l'application.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Invariance par une auto-application : les solutions de nombreux problèmes fonctionnels et dynamiques correspondent à des points laissés fixes par un opérateur ou une application.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Une application contractante sur un espace métrique complet admet un point unique x tel que f(x)=x et l'itération de f converge vers ce point.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Supposer qu'un point fixe existe pour toute application continue d'un espace quelconque sans vérifier la complétude, la compacité ou une autre condition d'existence.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Lorsque les hypothèses requises sont satisfaites, on obtient l'existence (et parfois l'unicité et la convergence constructive) d'une solution des équations exprimées x = f(x).

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Un point périodique de période n (f^n(x)=x mais f^k(x)≠x pour 0

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S'applique aux applications d'un espace dans lui-même ; n'inclut pas les points invariants seulement à un rapport d'équivalence ou l'invariance statistique (par exemple, des mesures invariantes).

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Confusion avec l'équilibre : un point fixe est une invariance ponctuelle d'une application (f(x)=x), alors que l'équilibre peut désigner une distribution stationnaire ou une constance d'ensemble plutôt qu'une égalité littérale.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Un point fixe est un élément invariant d'une auto-application dont l'existence et les propriétés dépendent d'hypothèses structurelles (contraction, compacité, continuité) et qui fournit souvent des solutions aux équations x = f(x).