## [Compacité](/fr/node/57699) Définition Une propriété topologique : un espace est compact si tout recouvrement ouvert admet un sous-recouvrement fini ; en espaces métriques elle équivaut souvent à la compacité séquentielle et, en espaces euclidiens, à être fermé et borné. ## Principe Principe Une contrainte de type finitude qui empêche l'évasion à l'infini et permet d'extraire des sous-suites convergentes et l'atteinte d'extrémums pour les fonctions continues. ## Démonstration Démonstration Tout sous-ensemble fermé et borné de R^n est compact : tout recouvrement ouvert possède un sous-recouvrement fini (propriété de Heine–Borel) et les fonctions continues y atteignent leurs maxima et minima. ## Mauvaise application Mauvaise application Considérer fermé et borné comme synonyme de compact dans des espaces fonctionnels de dimension infinie où des ensembles fermés et bornés peuvent ne pas être compacts. ## Conséquence Conséquence La compacité garantit des propriétés de points d'accumulation, l'atteinte d'extrémums par continuité et la précompacité des images par applications continues. ## Inversion Inversion La non-compacte permet l'existence de suites sans sous-suite convergente (elles 's'échappent' ou oscillent), de sorte que des fonctions continues peuvent ne pas atteindre de bornes et que les infimum/supremum ne sont pas réalisés. ## Limite Limite Notion purement topologique ; les équivalences avec la compacité séquentielle ou fermé-et-borné n'existent qu'avec une structure additionnelle (métrique, euclidienne). N'inclut pas la finitude au sens mesurable ou la tension probabiliste sauf relation explicite. ## Tension sémantique Tension sémantique Souvent mise en contraste avec la complétude : la complétude concerne le comportement de suites de Cauchy relativement à une métrique, tandis que la compacité impose une finitude globale des recouvrements ; ce sont des propriétés indépendantes en général. ## Synthèse Synthèse La compacité est une condition topologique de finitude qui assure que les recouvrements se réduisent à des sous-recouvrements finis, permettant l'extraction de sous-suites convergentes et contraignant les images continues à un comportement régulier (par ex. atteindre des extrêmes) dans son domaine.