##  [Décomposition Ergodique](/fr/node/57708) 

 Définition

La représentation d'une mesure invariante μ sur un système mesurable préservant la mesure comme intégrale (mélange) de mesures invariantes ergodiques : μ = ∫ μ_x dν(x), où presque chaque μ_x est ergodique et ν est une mesure sur l'espace des composantes ergodiques.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Les mesures invariantes sont des combinaisons convexes de mesures invariantes extrémales (ergodiques) ; les mesures ergodiques constituent les briques élémentaires du comportement statistique.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour une mesure de probabilité invariante par le décalage sur un espace symbolique, la décomposition se fait selon des mesures ergodiques supportées sur des sous-systèmes minimaux ; les moyennes temporelles pour une distribution initiale coïncident avec les moyennes prises sur la composante ergodique correspondante.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Supposer que la décomposition est toujours finie ou atomique, ou l'utiliser sans mesure invariante spécifiée ; confondre la décomposition des mesures avec une décomposition de l'espace sous-jacent en ensembles invariants disjoints dans tous les cas.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Les moyennes temporelles pour presque toute condition initiale peuvent être décrites comme des intégrales contre une composante ergodique, ramenant l'étude du comportement à long terme aux mesures ergodiques.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Une mesure ergodique unique (composante pure) au lieu d'un mélange : aucune décomposition non triviale n'existe si μ est ergodique.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S'applique uniquement aux mesures invariantes sur des systèmes dynamiques mesurables ; l'unicité ou la forme explicite de la décomposition peut échouer sans structure borélienne standard ou séparabilité.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Souvent opposée aux décompositions spectrales d'opérateurs (théorie spectrale linéaire) qui décomposent des fonctions plutôt que des mesures en modes orthogonaux.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Une expression canonique d'une mesure invariante comme intégrale de mesures invariantes ergodiques et indécomposables qui isole les comportements statistiques irréductibles.