##  [Tenseur de Courbure de Riemann](/fr/node/57726) 

 Définition

Application multilinéaire associée à une connexion affine qui mesure l'échec de la commutation des transports parallèles successifs ou des dérivées covariantes ; ses composantes codent la courbure intrinsèque d'un espace doté d'une métrique.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

La courbure est l'obstruction à la platitude : des valeurs non nulles expriment comment des parallélogrammes infinitésimaux ne se referment pas sous transport parallèle et comment les géodésiques voisines se séparent.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour la sphère bidimensionnelle standard plongée dans l'espace euclidien à trois dimensions, des composantes non nulles dans une base de coordonnées sphériques produisent des courbures sectionnelles positives et prédisent la convergence des géodésiques.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Considérer le tenseur comme un invariant scalaire de courbure ou le remplacer directement par ses contractions (comme le tenseur de Ricci ou la courbure scalaire) lorsque l'information directionnelle de la courbure est nécessaire.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

correctement calculé il détermine la courbure sectionnelle, la déviation géodésique et l'holonomie locale ; l'annulation du tenseur caractérise les géométries affines localement plates.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Une courbure nulle partout correspond à une connexion plate : le transport parallèle autour de toute boucle infinitésimale restitue les vecteurs inchangés.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Défini pour des espaces munis d'une connexion affine (souvent compatible avec une métrique) ; ne se réduit pas lui-même à des tenseurs de rang inférieur sauf par contraction et ne s'applique pas aux graphes discrets sans analogue de connexion discrète choisi.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Souvent confondu avec ses formes contractées (tenseur de Ricci ou courbure scalaire) : celles-ci sont des résumés perdant la dépendance directionnelle que conserve le tenseur complet.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Le tenseur de courbure de Riemann est le champ multilinéaire associé à une connexion affine qui capture quantitativement la non-commutation du transport parallèle et des dérivées covariantes, codant ainsi la courbure directionnelle et la déviation géodésique.