## [Stationnarité (Processus Stochastique)](/fr/node/57743) Définition Propriété d'un processus stochastique dont les lois finies dimensionnelles sont invariantes par translation temporelle : pour tout t et tout k-uplet d'indices finis, la loi conjointe de (X_{t+t1},…,X_{t+tk}) ne dépend pas de t. ## Principe Principe Imposer une homogénéité statistique dans le domaine temporel de sorte que les descriptions probabilistes dépendent seulement des décalages temporels relatifs et non de l'origine temporelle absolue. ## Démonstration Démonstration Le bruit blanc en temps discret avec incréments i.i.d. de moyenne nulle est strictement stationnaire car toute collection finie de valeurs a la même loi conjointe après tout décalage entier ; un modèle autorégressif gaussien peut être stationnaire si ses paramètres se trouvent dans la région de stabilité. ## Mauvaise application Mauvaise application Confondre stationnarité avec indépendance ou avec la constance de la moyenne seulement ; un processus peut avoir un premier moment constant mais une structure d'ordre supérieur dépendant du temps et donc ne pas être stationnaire. ## Conséquence Conséquence La stationnarité permet l'usage de méthodes spectrales et de fonctions d'autocorrélation invariantes dans le temps ; combinée à l'ergodicité, les moyennes temporelles convergent vers les espérances d'ensemble pour presque tout trajet échantillon. ## Inversion Inversion Les processus non stationnaires présentent des statistiques qui évoluent dans le temps (tendances, modulation périodique des moments, variance évolutive) et exigent des modèles dépendants du temps ou un détendance pour que l'analyse stationnaire standard s'applique. ## Limite Limite Définie par rapport à un ensemble d'indices (discret ou continu) et concerne l'invariance des lois conjointes ; des notions plus faibles (stationnarité au second ordre ou au sens large) exigent seulement la constance de la moyenne et l'invariance par translation des seconds moments. ## Tension sémantique Tension sémantique Contraste entre la stationnarité stricte (invariance de toutes les lois finies dimensionnelles) et la stationnarité au sens large (seuls la moyenne et les seconds moments sont invariants par translation) ; cette dernière suffit pour de nombreuses méthodes linéaires de signal mais omet la structure d'ordre supérieur. ## Synthèse Synthèse La stationnarité est l'invariance par translation temporelle de la loi probabiliste d'un processus, établissant une homogénéité temporelle qui sous-tend les représentations spectrales, les fonctions de corrélation invariantes et de nombreuses techniques d'inférence standards.