##  [Intégration Monte Carlo](/fr/node/57747) 

 Définition

Une méthode numérique qui estime des intégrales définies en moyennant les valeurs de l'intégrande évaluées en points échantillonnés aléatoirement selon une distribution de probabilité choisie sur le domaine.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Utiliser l'échantillonnage aléatoire de sorte que la moyenne d'échantillon des évaluations de l'intégrande converge vers l'intégrale par la loi des grands nombres ; la variance gouverne la précision.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Estimer l'intégrale de f(x)=exp(-|x|) sur un hypercube unité de haute dimension en tirant N échantillons uniformes indépendants et en calculant la moyenne f(x) ; augmenter N réduit l'erreur Monte Carlo ≈ O(N^{-1/2}).

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Utiliser un échantillonnage aléatoire naïf en très haute dimension sans réduction de variance (échantillonnage d'importance, stratification) ou avec N trop petit, produisant des estimations trop bruitées.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Fournit une approximation évolutive en dimension lorsque les méthodes quadratures déterministes sont impraticables ; l'erreur décroît de manière stochastique et peut être quantifiée par la variance de l'échantillon.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Les méthodes de quadrature déterministes ou d'interpolation convergent plus rapidement pour des intégrandes lisses en basse dimension mais ne s'adaptent généralement pas bien aux très hautes dimensions.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Nécessite que l'intégrande soit intégrable sous la loi d'échantillonnage ; inadaptée quand l'intégrande a une variance infinie sous la proposition ou quand une intégration symbolique exacte est disponible et préférable.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Se distingue des cubatures déterministes et des séquences quasi-aléatoires (faible discordance) ; la tension porte sur la convergence stochastique en O(N^{-1/2}) versus des taux plus rapides pour des méthodes déterministes structurées.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

L'intégration Monte Carlo approxime les intégrales par échantillonnage aléatoire et moyennage ; elle échange la vitesse de convergence statistique contre la robustesse en dimension et sur des domaines compliqués, l'exactitude dépendant du contrôle de la variance.