##  [Théorème de la Divergence](/fr/node/57751) 

 Définition

Un théorème du calcul vectoriel qui met en équivalence le flux d'un champ vectoriel à travers la surface orientée frontière d'un volume et l'intégrale sur le volume de la divergence de ce champ à l'intérieur.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

La densité locale de flux (la divergence) s'intègre en flux total sur la frontière : la divergence mesure localement la force source/puit et l'intégration convertit cette quantité locale en une affirmation globale de conservation.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour un champ vectoriel C^1 F sur une boule solide, l'intégrale de surface ∬_{∂V} F·n dS est égale à l'intégrale volumique ∭_V (∇·F) dV ; calculer les deux côtés pour F(x)=x vérifie l'égalité.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Appliquer le théorème à un champ présentant des discontinuités ou à un domaine dépourvu d'une frontière orientée et piecewise-lisse ; cela conduit à des conversions flux-volume incorrectes.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Permet de convertir des formulations de surface en formulations volumiques des lois de bilan, simplifiant l'analyse en électromagnétisme, mécanique des fluides et équations de conservation.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Le théorème de Stokes relie la rotation (curl) à la circulation sur la frontière d'une surface, convertissant un autre opérateur différentiel local (rotationnel) en une intégrale curviligne plutôt qu'en une identité flux–volume.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Exige que le champ vectoriel possède des dérivées premières continues sur le domaine et que le domaine possède une frontière orientée bien définie ; exclut les frontières fractales et les distributions avec singularités intérieures sauf dans des formulations généralisées.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Lié aux opérateurs de divergence discrets en numérique où des approximations dépendantes du maillage peuvent ne pas préserver l'exactitude continue ; la tension apparaît entre l'identité continue et ses analogues discrets dans les schémas numériques.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Le théorème de la divergence affirme que l'intégrale de la force source ponctuelle (divergence) sur un volume égale le flux net à travers la frontière, fournissant le pont local-vers-global utilisé dans les lois de conservation.