##  [Courbure Gaussienne](/fr/node/57775) 

 Définition

En un point lisse d'une surface bidimensionnelle, la courbure gaussienne est le produit des deux courbures principales ; équivalemment, une mesure scalaire intrinsèque de la déviation locale de la surface par rapport à une isométrie au plan.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

La courbure gaussienne dépend uniquement de la première forme fondamentale (la métrique induite sur la surface) et est invariante par isométries locales ; elle mesure la géométrie intrinsèque plutôt que la manière dont la surface est plongée dans l'espace ambiant.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Une sphère de rayon R a une courbure gaussienne constante K = 1/R^2 (positive) ; une selle standard a une courbure gaussienne négative ; un plan a K = 0.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Confondre la courbure gaussienne avec la courbure moyenne ou l'utiliser pour mesurer le pli extrinsèque ; l'appliquer à des points non lisses ou à des variétés de dimension supérieure sans adapter la notion conduit à des conclusions erronées.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Détermine le comportement local des géodésiques et la distorsion des aires ; l'intégrale de la courbure gaussienne sur une surface compacte est liée à des invariants topologiques, donc la courbure contrôle des contraintes topologiques globales.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

La courbure moyenne donne la moyenne des courbures principales et encode des informations de pli extrinsèque (dépendant de l'immerssion), tandis que la courbure gaussienne est multiplicative et intrinsèque ; les échanger inverse la perspective intrinsèque/extrinsèque.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Définie pour des surfaces riemanniennes bidimensionnelles lisses (plongées ou abstraites) en points réguliers ; non directement applicable aux surfaces non lisses, aux courbes ou aux tenseurs de courbure en dimension supérieure sans modification.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Souvent mise en regard de la courbure sectionnelle ou de la courbure moyenne : la courbure sectionnelle est un analogue en dimension supérieure défini sur des plans tangents de dimension deux, tandis que la courbure moyenne est une moyenne extrinsèque — la courbure gaussienne est le scalaire intrinsèque pour les surfaces 2D.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Invariante scalaire intrinsèque en un point d'une surface lisse égale au produit des courbures principales ; elle régit les propriétés géométriques locales et, par intégration, relie géométrie et topologie.