##  [Pont Brownien](/fr/node/57793) 

 Définition

Un processus stochastique continu obtenu en conditionnant une marche aléatoire continue à trajectoires continues pour prendre des valeurs prescrites en deux instants, généralement zéro au départ et à l'instant terminal ; c'est la loi des trajectoires de ce processus soumise à ces contraintes aux extrémités.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Un ensemble de trajectoires est modifié par une contrainte aux bornes qui fixe les extrémités, produisant des accroissements dépendants et une structure de covariance déterminée par le conditionnement.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Trajectoires échantillonnées sur l'intervalle [0,T] qui commencent en 0 et doivent revenir en 0 à l'instant T ; les fluctuations intermédiaires ont une variance plus faible près des extrémités qu'au milieu.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Considérer le processus comme ayant des accroissements indépendants ou comme stationnaire dans le temps ; l'utiliser pour modéliser des processus à sauts ou dont la variance aux extrémités est fixe et non nulle.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Fournit un modèle canonique pour les fluctuations contraintes utilisé en tests d'hypothèse, calibration de bandes de confiance et modélisation de diffusions conditionnées.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Le processus continu non contraint avec extrémités libres, qui présente des accroissements stationnaires et une variance plus élevée aux extrémités.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S'applique aux processus à temps continu et trajectoires continues avec contraintes explicites aux extrémités ; exclut les processus à sauts, les marches en temps discret sans interpolation et les lois diffuses non contraintes.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Ensembles de trajectoires contraints (pont) versus libres : tous deux dérivent de la même loi non contrainte mais diffèrent par le conditionnement aux extrémités qui modifie la dépendance.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Un pont brownien est l'ensemble des trajectoires continues obtenu lorsqu'un processus diffusif continu est conditionné à prendre des valeurs données aux extrémités, produisant un modèle de fluctuations non stationnaire et fixées aux bornes.