##  [Gradient (D'Un Champ Scalaire)](/fr/node/57860) 

 Définition

Un champ de vecteurs qui en chaque point donne la direction et le taux d'accroissement maximal d'une fonction scalaire différentiable ; en coordonnées euclidiennes ∇f = (∂_1 f, ..., ∂_n f).

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

C'est le champ de vecteurs unique correspondant à la 1‑forme différentielle df via l'isomorphisme induit par le produit scalaire (isomorphisme musical) : pour toute direction v la dérivée directionnelle D_v f = ⟨∇f, v⟩.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour f(x,y) = x^2 + y^2 sur R^2, ∇f = (2x, 2y) ; le long du vecteur radial unitaire r̂, la dérivée directionnelle vaut ⟨∇f, r̂⟩ = 2r, le taux d'accroissement maximal.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Traiter le gradient comme invariant sans préciser une métrique ou l'utiliser sur des variétés sans effectuer l'isomorphisme musical (convertir df en vecteur) conduit à des erreurs dépendant des coordonnées.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Le gradient donne la direction et la magnitude de la pente maximale, détermine les normales aux ensembles de niveau et sous‑tend les champs conservatifs : un champ vectoriel est un gradient si et seulement si son rotationnel (sur un domaine simplement connexe) est nul.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Le rotationnel (curl) mesure l'échec à être un gradient ; prendre la divergence met l'accent sur le flux plutôt que sur l'accroissement directionnel — ce sont des notions différentielles complémentaires.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Défini pour des fonctions scalaires différentiables sur des variétés munies d'un produit scalaire (métrique riemannienne) ; sur une variété quelconque il faut la métrique pour identifier df à ∇f.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Distinct de la différentielle (df), qui est une 1‑forme ; le gradient est la représentation vectorielle dépendante de la métrique de df — la confusion survient quand la métrique est omise ou qu'une structure euclidienne ambiante est supposée tacitement.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Le gradient est le champ de vecteurs dépendant de la métrique qui représente la différentielle d'un scalaire : il indique la montée la plus forte, sa norme est la dérivée directionnelle maximale et il relie les 1‑formes au calcul vectoriel.