## [Opérateur Compact](/fr/node/57868) Définition Opérateur linéaire entre espaces de Banach (ou normés) qui envoie les ensembles bornés sur des ensembles relativement compacts — équivalemment, l'image de la boule unité a une adhérence compacte. ## Principe Principe La compacité d'une application linéaire en dimension infinie généralise l'approximabilité par des dimensions finies : les opérateurs compacts se comportent comme des limites d'opérateurs de rang fini et héritent ainsi de propriétés spectrales discrètes absentes pour des opérateurs bornés généraux. ## Démonstration Démonstration Sur L^2([0,1]) un opérateur intégral (Tf)(x)=∫_0^1 K(x,y) f(y) dy avec K continue est compact car il envoie la boule unité sur une famille équicontinue et ponctuellement bornée dont l'adhérence est compacte d'après Arzelà–Ascoli. ## Mauvaise application Mauvaise application Supposer que tout opérateur borné est compact (faux en dimensions infinies) ou traiter la compacité comme préservée sous des limites quelconques dans des topologies plus faibles ; par exemple le shift unilatéral sur ℓ^2 est borné mais non compact. ## Conséquence Conséquence Les opérateurs compacts possèdent des propriétés spectrales analogues aux matrices : leur spectre non nul est au plus dénombrable avec 0 comme seul point d'accumulation possible, et les espaces propres associés à des valeurs propres non nulles distinctes sont de dimension finie, permettant la théorie de Fredholm. ## Inversion Inversion Un opérateur borné qui n'envoie pas les ensembles bornés sur des ensembles relativement compacts (p. ex. le shift bilatéral ou l'identité sur un espace de dimension infinie) illustre le comportement opposé : continu mais sans approximabilité par rang fini en norme. ## Limite Limite Défini pour des applications linéaires entre espaces normés ; la notion exclut les applications non linéaires (sauf linéarisation) et dépend de la topologie induite par la norme — des topologies différentes modifient la compacité ; tous les espaces de Banach n'admettent pas d'opérateurs compacts non triviaux. ## Tension sémantique Tension sémantique Souvent confondu avec opérateur de rang fini : tout opérateur de rang fini est compact, mais les opérateurs compacts peuvent être des limites infinies d'opérateurs de rang fini ; la tension porte sur l'approximation en norme opérateur versus le rang algébrique. ## Synthèse Synthèse Un opérateur compact est une application linéaire qui compresse les ensembles bornés en images relativement compactes, fournissant un analogue en dimension infinie des opérateurs de dimension finie avec une structure spectrale discrète et des résultats de résolubilité puissants.