##  [Valeur Régulière](/fr/node/57878) 

 Définition

Pour une application lisse f:M→N entre variétés, un point y de N est une valeur régulière si, pour tout x dans f^{-1}(y), la différentielle Df_x est surjective ; autrement dit tous les points de l'image réciproque sont des points réguliers.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

D'après le théorème de la valeur régulière (théorème de l'image réciproque/sousmersion), l'ensemble f^{-1}(y) d'une valeur régulière est une sous-variété lisse de M de codimension dim N ; les valeurs régulières sont génériques par le théorème de Sard.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour f: R^2 → R donnée par f(x,y)=x^2+y^2-1, la valeur 0 est régulière car le gradient ∇f est non nul sur le cercle f^{-1}(0), donc le cercle est une sous-variété de dimension 1.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Prendre une valeur critique pour une valeur régulière et affirmer à tort une structure de variété ou des dimensions correctes des ensembles de niveaux sans vérifier la surjectivité de la différentielle.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Quand y est régulier, f^{-1}(y) est une sous-variété lisse plongée de dimension et cartes locales prévisibles ; de petites perturbations de f conservent la régularité des valeurs proches.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Une valeur critique admet au moins un point de la préimage où la différentielle n'est pas surjective ; sa préimage peut présenter des singularités ou voir sa topologie changer sous perturbation.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Nécessite que f soit différentiable de classe au moins C^1 entre variétés différentiables ; la notion ne s'applique pas aux applications non différentiables ou aux applications purement topologiques.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Étroitement liée au concept de 'point régulier' et à la transversalité ; la tension apparaît quand il faut distinguer une valeur régulière (propriété du point cible) d'un point régulier (propriété d'un point de la préimage) et d'intersections transverses.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Une valeur régulière est une valeur de l'espace cible dont toute préimage est constituée de points où la différentielle est surjective, garantissant que la préimage est une sous-variété lisse de la codimension attendue.