## [Point Selle](/fr/node/57888) Définition Un point critique d'un champ scalaire deux fois différentiable où le gradient s'annule et où l'approximation quadratique présente des directions de courbure à la fois positive et négative, de sorte que le point n'est ni un minimum local ni un maximum local. ## Principe Principe Le comportement local au second ordre détermine la classification : des directions de courbure de signes mixtes créent des directions attractives et répulsives qui se croisent pour les flux voisins. ## Démonstration Démonstration Exemple : f(x,y) = x^2 - y^2 possède un point selle à l'origine : selon x la fonction croît, selon y elle décroît. ## Mauvaise application Mauvaise application Considérer comme insignifiant tout point critique non extrémal ; les selles organisent souvent les trajectoires et médiatisent les transitions dans les flux de type gradient. ## Conséquence Conséquence Près d'une selle, les trajectoires approchent selon des directions stables et s'éloignent selon des directions instables ; les selles structurent donc les frontières de bassin et les voies de transition. ## Inversion Inversion Extremum local : toutes les directions de courbure ont le même signe, produisant un minimum ou un maximum pur sans directions stables/instables croisées. ## Limite Limite Nécessite au moins C^2 pour appliquer le test des dérivées secondes ; exclut les extrema contraints situés sur les bords du domaine ou les maxima non différentiables. ## Tension sémantique Tension sémantique Souvent confondu avec des rides ou vallées en analyse de données appliquée ; une selle présente une courbure locale mixte, alors qu'une ride a un signe de courbure constant transverse. ## Synthèse Synthèse Un point selle est un point critique non extrémal de courbure mixte qui organise la dynamique locale via des directions stables et instables croisées dans l'approximation quadratique.