##  [Intégrale de Stieltjes](/fr/node/57890) 

 Définition

Une intégrale d'une fonction f par rapport à une fonction g, définie comme la limite de sommes Σ f(t_i)[g(x_{i+1}) - g(x_i)] lorsque le maillage se raffine ; elle généralise l'intégrale usuelle en permettant d'intégrer vis‑à‑vis d'un intégrateur pouvant présenter des sauts ou des singularités.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

L'intégration associe les valeurs de la fonction aux incréments de l'intégrateur g ; lorsque g est de variation bornée, l'intégrale de Stieltjes étend l'intégration classique pour englober contributions continues et sauts discrets.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Si g est différentiable de dérivée g', alors ∫ f dg se réduit à l'intégrale ordinaire ∫ f(x) g'(x) dx ; si g est une fonction cumulative à sauts, l'intégrale devient une somme pondérée des valeurs de f aux points de saut.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Supposer une interchangeabilité sans condition avec les intégrales issues de la théorie de la mesure, ou intégrer par rapport à un g très oscillant ou sans variation bornée sans théorie de convergence adaptée.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

La construction relie intégrateurs et mesures : une fonction de variation bornée définit une mesure signée et l'intégrale de Stieltjes retrouve les intégrales par rapport à cette mesure, utile en probabilité lorsque g est une fonction de distribution.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

L'intégrale de Riemann ordinaire est le cas particulier g(x) = x ; inversement, l'intégrale de Stieltjes autorise des intégrateurs plus généraux, y compris des fonctions cumulatives discontinues.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

L'existence pour toute f continue est garantie quand g est de variation bornée ; pour des intégrateurs plus singuliers il faut recourir à des théories d'intégration généralisées (Young, Henstock–Kurzweil ou cadres mesurables complets).

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Par rapport à l'intégrale de Lebesgue, l'intégrale de Stieltjes met l'accent sur l'intégration vis‑à‑vis d'une fonction intégratrice plutôt que d'une mesure de référence fixe, imposant des conditions différentes de régularité et de convergence.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

L'intégrale de Stieltjes généralise l'intégration classique en sommant les valeurs d'une fonction contre les incréments d'une intégratrice, unifiant traitements des densités continues et des sauts discrets.