##  [Résidu Complexe](/fr/node/57905) 

 Définition

Le coefficient de (z − z0)^{-1} dans le développement de Laurent d'une fonction complexe autour d'une singularité isolée z0 ; il capture le comportement singulier principal pertinent pour les intégrales de contour.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Le comportement local près d'une singularité isolée est encodé par la série de Laurent ; le résidu est le coefficient unique dont l'intégrale autour d'un petit contour vaut 2πi fois ce coefficient.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour un pôle simple en z0, Res_{z0} f = lim_{z→z0} (z−z0) f(z). Pour f(z)=1/(z−z0), le résidu vaut 1 et ∮_C f(z) dz = 2πi.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Tenter de calculer des résidus en des points de branchement ou des singularités non isolées en utilisant la formule du pôle simple conduit à des erreurs ; les résidus exigent des singularités isolées ou un traitement approprié des coupures de branche.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Les résidus permettent d'évaluer exactement des intégrales de contour et des séries via le théorème des résidus, réduisent des intégrales complexes à des calculs algébriques de résidus et classent les singularités selon la nullité ou non du résidu.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Un résidu nul en une singularité isolée n'implique pas nécessairement que la singularité soit évitable ; il peut s'agir d'un pôle d'ordre supérieur dont les coefficients s'annulent pour le terme (z−z0)^{-1}.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Défini uniquement pour des singularités isolées (pôles, singularités évitables, singularités essentielles) dans des régions où une série de Laurent existe ; non défini pour des singularités non isolées ou à travers des coupures de branche sans précision.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Confondu avec l'extraction de coefficients dans une série de Taylor ou avec la partie principale : le résidu est spécifiquement le coefficient de (z−z0)^{-1} dans la série de Laurent, tandis que d'autres coefficients décrivent le comportement régulier ou les singularités d'ordre supérieur.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Un résidu complexe est le coefficient de Laurent d'ordre −1 en une singularité isolée qui encapsule la contribution singulière locale et détermine la valeur des intégrales de contour avoisinantes.