## [Ultrafiltre](/fr/node/57919) Définition Un ultrafiltre est un filtre propre maximal sur un ensemble : une collection de sous-ensembles fermée par intersections finies et par passages à des sur-ensembles, ne contenant pas l'ensemble vide, et telle que pour tout sous-ensemble A, soit A soit son complément appartient à l'ultrafiltre. ## Principe Principe Maximalité parmi les filtres : un ultrafiltre étend la propriété d'intersection finie en une règle de sélection décisive qui pour chaque sous-ensemble choisit l'appartenance ou son complément, en faisant une mesure finiment additive à valeurs {0,1} sur l'ensemble des parties. ## Démonstration Démonstration Pour un point x dans un ensemble X, l'ultrafiltre principal en x consiste en tous les sous-ensembles de X contenant x ; un ultrafiltre non principal sur les entiers naturels (dont l'existence nécessite le choix) contient tous les ensembles cofins et d'autres encore, déterminant des limites le long de sous-suites dirigées par l'ultrafiltre. ## Mauvaise application Mauvaise application Prendre une fonction additive finie arbitraire sur les parties pour un ultrafiltre ou supposer que des ultrafiltres non principaux existent constructivement sans invoquer l'axiome du choix ; ou utiliser la sélection par ultrafiltre comme si elle était unique et canonique sur les ensembles infinis. ## Conséquence Conséquence Les ultrafiltres fournissent des outils de compacité (compactification de Stone–Čech), permettent la construction d'ultraproduits et de limites non standard, et transforment des propriétés « éventuelles » en énoncés d'appartenance définitifs facilitant arguments par limites et principes de transfert. ## Inversion Inversion Un filtre propre qui n'est pas maximal : il peut être fermé par intersections et sur-ensembles mais échouer à la dichotomie « chaque sous-ensemble ou son complément », fournissant ainsi une sélection moins décisive pour les limites. ## Limite Limite Défini sur des ensembles quelconques mais l'existence d'ultrafiltres non principaux sur des ensembles infinis dépend de l'axiome du choix ; sur des ensembles finis tout ultrafiltre est principal et correspond à un point unique. ## Tension sémantique Tension sémantique Filtre versus ultrafiltre : les filtres encodent convergence et « grandeur » sans la décision maximale, tandis que les ultrafiltres, filtres maximaux, se comportent comme des mesures binaires et offrent des principes de sélection plus forts. ## Synthèse Synthèse Un ultrafiltre est un filtre propre maximal sur un ensemble qui, en sélectionnant pour chaque sous-ensemble soit celui-ci soit son complément, fonctionne comme un dispositif décisif binaire pour les constructions de limites et de compacité en topologie, théorie des modèles et combinatoire.