##  [Norme de Frobenius](/fr/node/57921) 

 Définition

Une norme matricielle égale à la racine carrée de la somme des carrés de toutes les composantes ; équivalente à la norme l2 de la matrice vue comme vecteur ou à sqrt(trace(A^T A)).

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Agrège les carrés des composantes élémentaires pour produire un scalaire qui mesure l'énergie totale de la matrice, invariant par changements de base orthogonaux.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour A ∈ R^{m×n}, ||A||_F = sqrt(Σ_{i,j} A_{ij}^2). Exemple : A = [[1,2],[3,4]] donne ||A||_F = sqrt(1+4+9+16)=sqrt(30).

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Employer la norme de Frobenius pour estimer l'amplification maximale d'un opérateur (norme spectrale) lorsque c'est la plus grande valeur singulière, et non l'énergie agrégée, qui commande le comportement.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Fournit un scalaire invariant par rotation et peu coûteux à calculer qui borne et est borné par d'autres normes (par ex. ||A||_2 ≤ ||A||_F ≤ sqrt(rank(A)) ||A||_2) et permet d'identifier les opérateurs de Hilbert–Schmidt lorsqu'elle est finie.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

La norme opérateur (spectrale) : mesure l'amplification directionnelle maximale (plus grande valeur singulière) plutôt que l'énergie agrégée des composantes.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Définie directement pour les matrices finies et les opérateurs de trace/Hilbert–Schmidt ; non finie ou non définie pour des opérateurs non bornés en général ; ne rend pas compte de l'amplification directionnelle ni de la structure de parcimonie.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Par rapport à la norme spectrale : la norme de Frobenius mesure l'énergie totale élémentaire tandis que la norme spectrale met l'accent sur le pire cas ; les confondre peut induire des estimations erronées.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Une mesure l2 indépendante de la base de la magnitude totale des composantes d'une matrice, utile pour les erreurs agrégées et pour repérer la classe de Hilbert–Schmidt lorsque finie.