##  [Mesure Spectrale](/fr/node/57954) 

 Définition

Une mesure à valeurs projectives (ou scalaire) sur le spectre d'un opérateur qui décompose l'opérateur en composantes spectrales et attribue des poids aux plages de fréquence ou d'énergie.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Selon le théorème spectral, un opérateur normal (ou auto-adjoint) peut être représenté comme une intégrale sur son spectre par rapport à une mesure spectrale ; cette mesure détermine le calcul fonctionnel et les projections spectrales.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour un opérateur de multiplication auto-adjoint (M_f) sur L2, la mesure spectrale concentrée sur les valeurs de f donne des projecteurs sur les sous-espaces où f prend des valeurs dans des ensembles boréliens spécifiés.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Employer une mesure spectrale construite pour un opérateur borné auto-adjoint pour traiter un opérateur non normal ou non borné sans contrôle du domaine peut produire des décompositions invalides et une mauvaise identification des types spectraux.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Une mesure spectrale correctement identifiée permet de calculer l'évolution e^{itA}, de distinguer spectre continu et discret, et de fonder des distributions de probabilité pour les résultats de mesure en contexte quantique.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Remplacer une mesure spectrale par un simple ensemble spectre (points du spectre) supprime l'information de multiplicité et de pondération ; l'ensemble seul ne permet pas de reconstruire l'action de l'opérateur ni ses projecteurs.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S'applique aux opérateurs sur espaces de Hilbert satisfaisant les hypothèses du théorème spectral ; ne s'étend pas simplement aux opérateurs non normaux généraux ni aux opérateurs sans résolution de l'identité.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension avec la notion informelle de « spectre » comme ensemble de fréquences ; la mesure spectrale raffine cet ensemble en spécifiant le type spectral (point pur, absolument continu, singulier) et la multiplicité.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Une mesure spectrale est l'objet mesure-théorique qui, conjointement au spectre, encode complètement comment un opérateur se décompose en composantes spectrales orthogonales et comment les fonctions de l'opérateur agissent.