##  [Invariant Topologique](/fr/node/58005) 

 Définition

Une propriété ou quantité associée à un espace topologique qui est préservée par les homéomorphismes (bijections continues ayant une réciproque continue), utilisée pour distinguer les espaces à une déformation continue près.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Attribuer aux espaces des caractéristiques qui restent inchangées par des déformations continues ; les invariants peuvent être numériques, algébriques ou catégoriques et se calculent à partir de la topologie de l'espace plutôt que d'une métrique.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Le genre compte le nombre de 'poignées' d'une surface compacte orientable : la sphère a le genre 0, le tore le genre 1 ; le genre est invariant par déformation continue et sépare donc ces surfaces topologiquement.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Utiliser un invariant topologique qui est aveugle à certaines structures (par ex. le genre qui ignore l'enchevêtrement en dimension trois) pour prétendre que deux espaces sont équivalents sans vérifier le pouvoir discriminant de l'invariant.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Fournit des outils pour classifier les espaces, prouver la non-équivalence et guider des constructions (par ex. théorie des obstructions) ; si deux espaces ont des valeurs différentes d'un invariant donné, ils ne peuvent pas être homéomorphes.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Les invariants géométriques dépendent de structures supplémentaires telles qu'une métrique ; inverser la focale met en lumière des quantités (longueurs, angles, courbure) qui varient sous déformations continues générales alors que les invariants topologiques ne le font pas.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Concerne les propriétés invariantes par homéomorphisme ou par relations plus faibles spécifiées (homotopie) ; exclut les métriques, les structures lisses et les invariants nécessitant des données géométriques ou analytiques supplémentaires.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Souvent confondu avec des invariants d'homotopie ou lisses ; les invariants topologiques exigent seulement l'équivalence topologique, tandis que les variantes d'homotopie ou lisses peuvent être plus grossières ou plus fines selon le contexte.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Un invariant topologique est une quantité ou une structure dérivée de la topologie d'un espace qui reste fixe sous bijections continues avec réciproque continue et sert à classifier et distinguer les espaces à une déformation près.