##  [Série de Fourier](/fr/node/58007) 

 Définition

Une représentation d'une fonction périodique sur un intervalle comme somme (éventuellement infinie) de fonctions sinusoïdales ou d'exponentielles complexes de fréquences discrètes avec des coefficients correspondants.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

L'orthogonalité des éléments de base trigonométriques sur la période donne des coefficients d'expansion uniques qui capturent le contenu fréquentiel du signal.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Exprimer une onde carrée sur [-π,π] comme somme de termes sinusoïdaux impairs dont les coefficients décroissent comme 1/n, reproduisant la forme d'onde à l'exception du phénomène de Gibbs aux discontinuités.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Utiliser une série de Fourier tronquée pour modéliser une fonction non périodique sans extension appropriée conduit à des artéfacts et à une mauvaise extrapolation hors de la période.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Fait le lien entre domaine temporel et domaine fréquentiel pour les signaux périodiques, permettant filtrage spectral, analyse modale et résolution d'équations aux dérivées partielles à conditions périodiques.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Au lieu de décomposer en harmoniques discrètes (série de Fourier), on peut représenter des signaux non périodiques par une transformée à spectre continu qui localise l'énergie différemment (par ex. la transformée de Fourier).

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S'applique aux fonctions définies sur un intervalle compact avec extension périodique ou dans L2 du cercle ; ne s'applique pas automatiquement à des distributions non périodiques sans extension ou notions généralisées de convergence.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Concurrence avec les développements localisés (ondelettes, transformées fenêtrées) qui privilégient la localisation temps-fréquence plutôt que des bases sinusoïdales globales.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Un outil codant les signaux périodiques par un ensemble discret de coefficients harmoniques utilisant des bases sinusoïdales orthogonales, efficace pour l'analyse fréquentielle globale mais sensible aux discontinuités et à la non-périodicité.