## [Matrice de Covariance](/fr/node/58026) Définition Matrice carrée dont l'élément (i,j) est la covariance entre la i-ème et la j-ème composante d'un vecteur aléatoire ; elle encode la dispersion linéaire et l'échelle mutuelle des composantes. ## Principe Principe Rassembler l'information des deuxièmes moments : calculer les espérances des produits croisés moins le produit des espérances ; la matrice est symétrique et semi‑définie positive, reflétant les variances et la dépendance linéaire. ## Démonstration Démonstration Avec n observations indépendantes d‑dimension x₁,…,x_n, la matrice de covariance empirique S = (1/(n-1)) ∑ (x_i − 9x)(x_i − 9x)^T a pour entrée S_{jk} la covariance empirique entre les coordonnées j et k. ## Mauvaise application Mauvaise application Interpréter une covariance nulle comme une indépendance totale (la covariance nulle ne signifie pas absence de dépendance non linéaire) ou utiliser la covariance empirique sur des séries fortement non stationnaires sans retirer tendances ou saisonnalités. ## Conséquence Conséquence Une utilisation correcte donne les directions de forte et faible variabilité, oriente les estimateurs linéaires et la propagation d'erreur, définit des distances de type Mahalanobis et paramètre la dispersion d'une gaussienne multivariée. ## Inversion Inversion La matrice de précision (l'inverse de la covariance lorsque défini) met en évidence les relations conditionnelles et des structures d'éparcissement plutôt que les covariances marginales. ## Limite Limite Ne résume que des relations linéaires d'ordre deux et nécessite des second moments finis ; elle ne capture pas la dépendance non linéaire ni les moments d'ordre supérieur et peut être mal conditionnée pour peu d'échantillons par rapport à la dimension. ## Tension sémantique Tension sémantique La matrice de corrélation est une forme normalisée de la matrice de covariance ; la confusion survient lorsqu'on compare des covariances sensibles à l'échelle et des corrélations sans dimension. ## Synthèse Synthèse La matrice de covariance est la matrice symétrique semi‑définie positive des covariances croisées, qui représente de manière compacte la dispersion linéaire et les relations d'échelle d'une loi multivariée.