##  [Loi A Priori Conjuguée](/fr/node/58030) 

 Définition

Une famille de lois a priori choisie de sorte qu'après mise à jour des croyances par une fonction de vraisemblance donnée, la croyance mise à jour sur les paramètres appartienne à la même famille paramétrique que l'a priori.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Fermeture par la règle de mise à jour bayésienne : a priori × vraisemblance produit une fonction de même forme paramétrique que l'a priori, permettant d'obtenir les paramètres du postérieur par des mises à jour algébriques simples des hyperparamètres.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour des essais binaires avec comptage de succès et d'échecs, choisir une loi Beta a priori sur la probabilité de succès produit une loi mise à jour de forme Beta dont les paramètres de forme sont incrémentés des comptes observés.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Choisir un a priori conjugué uniquement pour la commodité algébrique alors que l'information implicite de cet a priori contredit les connaissances du domaine, biaisant ainsi les croyances mises à jour.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Apporte une tractabilité analytique : mises à jour en forme fermée des hyperparamètres, coût de calcul réduit et mises à jour interprétables qui facilitent l'actualisation séquentielle ou en temps réel.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

L'utilisation d'un a priori non conjugué donne lieu à une croyance mise à jour hors de la famille a priori, nécessitant typiquement une intégration numérique ou un échantillonnage pour représenter la distribution mise à jour.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

La conjugaison dépend de la famille de vraisemblance ; de nombreux modèles n'admettent pas d'a priori conjugué simple, et les choix conjugués peuvent être impropres ou incompatibles avec les conditions de régularité sans précaution.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension avec les stratégies d'a priori 'non informatif' ou de référence : les a priori conjugués privilégient la fermeture algébrique tandis que les a priori de référence privilégient une influence subjective minimale ; ces objectifs peuvent être contradictoires.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Un a priori conjugué est une famille d'a priori choisie de sorte que la mise à jour des croyances avec une vraisemblance spécifiée préserve la forme de la famille, permettant des mises à jour analytiques des hyperparamètres.