## [Fonction D'Autocorrélation](/fr/node/58034) Définition Une fonction qui associe à un décalage temporel la corrélation entre les valeurs d'une série ou d'un processus stochastique séparées par ce décalage ; elle quantifie la dépendance temporelle linéaire au sein d'une même série. ## Principe Principe L'autocorrélation au décalage τ est la covariance entre la série et sa version décalée de τ divisée par la variance (si la variance est finie) ; pour des processus aux statistiques d'ordre deux invariantes dans le temps elle dépend seulement du décalage et est symétrique par inversion du signe du décalage. ## Démonstration Démonstration Pour un processus autorégressif X_t = φ X_{t-1} + ε_t avec ε_t bruit blanc, l'autocorrélation théorique au décalage k vaut φ^k, montrant une décroissance exponentielle lorsque |φ|<1. ## Mauvaise application Mauvaise application Utiliser des autocorrélations d'échantillon sur une série courte ou fortement trendée pour conclure à une dépendance à longue portée, ou compter sur l'autocorrélation pour détecter un couplage non linéaire qu'elle ne révèle pas. ## Conséquence Conséquence Met en évidence des échelles de temps caractéristiques et des périodicités, oriente l'identification de modèles (décalages à inclure) pour des prédicteurs linéaires et guide la conception de filtres et de commandes basées sur la mémoire temporelle. ## Inversion Inversion La corrélation croisée compare deux séries différentes pour détecter des relations avance‑retard, tandis que l'autocorrélation compare une série avec elle‑même à différents décalages pour révéler la mémoire interne. ## Limite Limite Exige des moments seconds finis et un ordonnancement cohérent des observations ; elle n'est pas définie pour des données non ordonnées ou pour des processus dépourvus de structure d'ordre deux bien définie. ## Tension sémantique Tension sémantique L'autocorrélation partielle isole les effets directs aux retards en supprimant les influences d'intermédiaires ; la confusion survient lorsqu'on utilise l'autocorrélation pour inférer une causalité directe plutôt que des dépendances en chaîne. ## Synthèse Synthèse La fonction d'autocorrélation est la covariance normalisée d'une série avec ses copies retardées, qui relie le décalage à la force de dépendance linéaire et met en évidence la structure temporelle et les échelles de décroissance.