## [Matrice Stochastique](/fr/node/58074) Définition Une matrice carrée à coefficients non négatifs dont les lignes somment à un, utilisée pour représenter les probabilités de transition en un pas d'une chaîne de Markov discrète à états finis selon la convention lignes. ## Principe Principe Chaque ligne est une loi de probabilité : la non-négativité et la somme unitaire des lignes assurent la conservation de la probabilité totale et permettent la composition des pas par multiplication matricielle. ## Démonstration Démonstration Une matrice P de taille 3×3 où P_{ij} est la probabilité de passer de l'état i à l'état j ; la distribution après deux pas s'obtient en multipliant un vecteur ligne de probabilités initial par P deux fois (vP^2). ## Mauvaise application Mauvaise application Considérer comme stochastique une matrice à coefficients négatifs ou dont les lignes ne somment pas à un, ou employer directement une matrice ligne-stochastique comme générateur infinitésimal d'un processus en temps continu sans conversion. ## Conséquence Conséquence Bien appliquée, la multiplication répétée d'un vecteur ligne de probabilités par la matrice fournit l'évolution discrète de la chaîne ; le comportement à long terme est caractérisé par des vecteurs de probabilités π tels que π = πP et par les puissances de transition qui décrivent les probabilités multi-pas. ## Inversion Inversion Interpréter la même contrainte non négative et de somme unitaire sur les colonnes donne une matrice colonne-stochastique, qui représente une convention différente (transitions en sens inverse ou par colonnes) et modifie la mise à jour des distributions d'état. ## Limite Limite La définition s'applique aux matrices finies, en temps discret et de dimension finie, à coefficients non négatifs et somme des lignes égale à un ; elle exclut les matrices sous-stochastiques, les noyaux de dimension infinie non normalisés et les générateurs en temps continu (matrices de taux infinitésimaux). ## Tension sémantique Tension sémantique Le « noyau de transition » est une généralisation mesurable de la même idée pour des espaces d'états continus ou non dénombrables ; une matrice stochastique est l'instance algébrique finie de ce noyau et n'est pas interchangeable quand la structure mesurable importe. ## Synthèse Synthèse Une matrice stochastique est l'opérateur linéaire fini, normalisé par ligne, qui encode les probabilités de transition en un pas ; ses contraintes algébriques (non-négativité et sommes de lignes égales à un) garantissent la composition probabiliste et la conservation lorsqu'on l'itère.