##  [Temps de Mélange (Chaîne de Markov)](/fr/node/58098) 

 Définition

La plus petite échelle de temps après laquelle la loi d'une chaîne de Markov est proche de sa distribution stationnaire à l'intérieur d'une tolérance donnée, généralement mesurée en distance variationnelle totale.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

La vitesse de convergence est gouvernée par les propriétés spectrales (écart entre valeurs propres) et les quantités isopérimétriques (conductance) ; des écarts plus grands et une conductance élevée accélèrent le mélange.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour une marche aléatoire sur un graphe expander à n sommets, le temps de mélange croît logarithmiquement en n car l'écart spectral du graphe est borné en dessous, entraînant une convergence rapide vers la stationnarité.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Supposer qu'une courte exécution empirique implique mélange sans quantifier la distance à la stationnarité, ou confondre temps de mélange et temps nécessaire pour visiter tous les états (temps de recouvrement).

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Fournit des recommandations de durée et de période d'amorçage pour les méthodes MCMC et la modélisation dynamique : garantit un échantillonnage approximativement à l'équilibre après le temps indiqué.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Une chaîne avec un temps de mélange long présente une métastabilité ou des goulets d'étranglement : les distributions initiales persistent et l'échantillonnage reste biaisé ; l'inverse est un comportement non ergodique plutôt qu'une équilibration rapide.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Défini pour les chaînes de Markov ergodiques (irrécductibles, apériodiques) et dépend de la distance et de la tolérance choisies ; différentes normes (variation totale, L2) donnent des temps de mélange quantitatifs différents.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Par rapport au temps de relaxation (inverse de l'écart spectral) : les deux quantifient la convergence mais utilisent des normes et constantes différentes ; le temps de relaxation est algébrique (L2) tandis que le temps de mélange est probabiliste et souvent plus contraignant.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Un temps-seuil quantitatif, déduit des propriétés spectrales et géométriques de la chaîne, après lequel la loi de la chaîne est uniformément proche de sa distribution stationnaire à l'intérieur d'une erreur prescrite.