##  [Indice D'Un Point Fixe](/fr/node/58120) 

 Définition

Un invariant topologique à valeurs entières assigné à un point fixe isolé d'une application continue sur une variété (ou dans l'espace euclidien) qui compte algébriquement le point fixe en fonction du degré local de l'application moins l'identité.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Théorie du degré local et invariance par homotopie : l'indice est égal au degré de Brouwer de f−id sur une petite sphère entourant le point fixe et est invariant sous des homotopies qui conservent l'isolement du point fixe et ne traversent pas le bord du voisinage.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour une application C^1 sur R^2 avec un point fixe isolé, l'indice vaut le signe de det(I−Df) lorsque la matrice I−Df est non singulière ; une source ou un puits a indice +1, une selle simple a indice −1.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Appliquer la formule de l'indice quand le point fixe n'est pas isolé, utiliser la linéarisation lorsque I−Df est singulière, ou négliger les contributions des points fixes se trouvant sur le bord du voisinage choisi, ce qui invalide l'invariance par homotopie.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

L'indice fournit des informations qualitatives sur la dynamique locale (existence et type de points fixes), et la somme des indices sur un domaine compact se relie à des invariants globaux (p. ex. le nombre de Lefschetz) donnant des théorèmes d'existence lorsque la somme est non nulle.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Le nombre de Lefschetz global ou la théorie de Nielsen agrègent les indices locaux ou affinent le comptage ; inversement, un indice local nul n'exclut pas la présence d'ensembles invariants non triviaux ou de dégénérescences d'ordre supérieur au point fixe.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Défini pour des points fixes isolés d'applications continues sur des variétés ou domaines euclidiens et nécessite des hypothèses d'orientabilité pour le signe du degré ; exclut les points d'accumulation de l'ensemble des points fixes et les applications discontinues.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Proche du degré de Brouwer et de l'indice de Lefschetz : le degré de Brouwer est un degré au niveau de la fonction, Lefschetz somme les indices locaux en un invariant global—ces notions se recoupent mais diffèrent par la localité et le domaine d'application.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

L'indice d'un point fixe est un entier qui compte algébriquement un point fixe isolé via le degré local de f−id ; il est invariant par homotopie sous isolement et encode des informations locales qualitatives nourrissant des résultats d'existence globaux.