## [Enveloppe Convexe](/fr/node/58146) Définition L'enveloppe convexe d'un ensemble S dans un espace vectoriel réel est le plus petit ensemble convexe contenant S ; de façon équivalente, c'est l'ensemble de toutes les combinaisons convexes finies de points de S. ## Principe Principe L'enveloppe convexe clôt un ensemble par combinaison convexe — mélange de points avec des coefficients non négatifs sommant à un — produisant ainsi le sur-ensemble convexe minimal. ## Démonstration Démonstration Étant donné trois points non colinéaires dans R^2, leur enveloppe convexe est le triangle plein dont les sommets sont ces points ; tout point intérieur s'écrit λ1x1+λ2x2+λ3x3 avec λi≥0 et ∑λi=1. ## Mauvaise application Mauvaise application Confondre enveloppe convexe et enveloppe affine (qui permet des combinaisons linéaires avec coefficients sommant à un mais autorise des négatifs) ou supposer que l'enveloppe convexe préserve des propriétés topologiques comme la clôture en dimensions infinies sans prendre la clôture. ## Conséquence Conséquence Le calcul des enveloppes convexes produit des polyèdres ou ensembles convexes utilisés en optimisation, fonctionnelles de soutien et théorèmes de séparation ; les résultats de type Carathéodory bornent le nombre de points nécessaires pour représenter un élément. ## Inversion Inversion La notion complémentaire est l'ensemble des points extrémaux : alors que l'enveloppe convexe agrège les points pour former les intérieurs, l'extraction des extrémaux identifie les générateurs irréductibles de l'ensemble convexe. ## Limite Limite La définition présuppose un espace vectoriel sur R (ou un corps ordonné) et s'applique en dimension finie ou infinie ; en topologies infinies il faut distinguer enveloppe et enveloppe convexe fermée et considérer la clôture par limites. ## Tension sémantique Tension sémantique Combinaison convexe versus combinaison linéaire : les combinaisons convexes exigent des coefficients non négatifs sommant à un, donnant les enveloppes convexes, tandis que les combinaisons linéaires autorisent des scalaires négatifs et produisent des spans linéaires — deux opérations de clôture distinctes. ## Synthèse Synthèse L'enveloppe convexe est l'ensemble convexe minimal contenant S, formé de toutes les combinaisons convexes finies de S et constituant l'opération de clôture convexe fondamentale en géométrie et optimisation.