##  [Variété Symplectique](/fr/node/58194) 

 Définition

Une variété lisse de dimension paire munie d'une 2-forme différentielle fermée et non dégénérée (la forme symplectique) qui fournit un couplage bilinéaire sur chaque espace tangent et sous-tend la mécanique hamiltonienne.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

La non-dégénérescence de la 2-forme donne un isomorphisme canonique entre espaces tangents et cotangents ; la fermeture (dω=0) assure l'existence de coordonnées canoniques locales (théorème de Darboux) et des propriétés de conservation pour les flots hamiltoniens.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

L'espace des phases standard R^{2n} avec coordonnées (q,p) et 2-forme ω = Σ_i dp_i ∧ dq_i est une variété symplectique ; les équations de Hamilton se forment par contraction de ω avec le champ de Hamiltonien.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Qualifier de symplectique toute variété munie d'une forme de volume ; les formes de volume sont de degré maximal et ne fournissent pas la 2-forme fermée non dégénérée requise.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Localement toute variété symplectique admet des coordonnées où la forme prend la forme standard dp∧dq, ce qui implique l'absence d'invariants scalaires locaux de la forme et la rigidité des transformations canoniques (symplectomorphismes).

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Supprimer la non-dégénérescence donne une 2-forme présymplectique (fermée mais dégénérée) dont le noyau porte des contraintes ; supprimer la fermeture conduit à des 2-formes non symplectiques sans propriété de Darboux.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S'applique aux variétés lisses de dimension paire ; exclut les variétés de dimension impaire et les contextes dépourvus d'une 2-forme fermée non dégénérée (par ex. structures purement de préservation de volume ou variétés de Poisson à feuilles singulières).

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Souvent opposée aux variétés de Poisson : une variété symplectique possède une 2-forme non dégénérée définie globalement, tandis qu'une structure de Poisson peut être dégénérée ou singulière et fournit un bi-vecteur au lieu d'une forme.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Une variété symplectique est une variété lisse de dimension paire munie d'une 2-forme fermée et non dégénérée qui se réduit localement à dp∧dq et définit le cadre géométrique de la dynamique hamiltonienne.