##  [Intégrale d'Itô](/fr/node/58233) 

 Définition

Intégrale stochastique définie pour des processus prévisibles et de carré intégrable par rapport à un semi-martingale (souvent le mouvement brownien), construite comme la limite en moyenne quadratique de sommes de Riemann non anticipatives utilisant les points gauche ; elle vérifie une isométrie reliant les seconds moments à la variation quadratique prédictible de l'intégrateur.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Discrétisation non anticipative (prévisible) combinée à une correction issue de la variation quadratique : les limites des sommes de Riemann aux points gauches donnent une isométrie en L2 et un terme d'ordre deux supplémentaire dans les formules de changement de variable.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour un processus prévisible σ(t) tel que ∫_0^T E[σ(t)^2] dt<∞ et un mouvement brownien W_t, l'intégrale d'Itô ∫_0^T σ(t)dW_t existe comme limite en L2 et satisfait E[(∫_0^T σ dW)^2]=E[∫_0^T σ^2 dt].

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Appliquer la règle de dérivation classique à f(X_t) où X_t satisfait dX_t=σ(t)dW_t et omettre le terme de correction d'Itô (½ f''(X_t)σ(t)^2 dt), c'est-à-dire traiter l'intégrale d'Itô comme une intégrale de Riemann ordinaire.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Les intégrales d'Itô forment des martingales lorsque les intégrandes sont de carré intégrable et de moyenne nulle ; elles interviennent dans la formule d'Itô qui ajoute un terme d'ordre deux proportionnel à la variation quadratique, modifiant les solutions des équations différentielles stochastiques.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Les intégrales de Stratonovich proviennent de sommes de Riemann symétriques (point milieu) et respectent la règle de dérivation classique ; on obtient une correction de dérive différente lors de la conversion.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Définie pour des processus prévisibles intégrables au sens de la moyenne quadratique contre un semi-martingale ; ce n'est pas une intégrale de Lebesgue–Stieltjes trajectorielle pour des trajectoires très irrégulières et nécessite une structure probabiliste (filtration et variation quadratique de l'intégrateur).

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Souvent opposée à l'intégrale de Stratonovich et aux intégrales trajectorielles (Young/rough path) — le même symbole ∫ masque des conventions d'échantillonnage et des règles de transformation différentes.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Intégrale probabiliste construite à partir de sommes de Riemann aux points gauches dont l'isométrie en L2 et le comportement vis‑à‑vis de la variation quadratique produisent la correction d'Itô caractéristique du calcul stochastique.