##  [Propagateur (Fonction de Green)](/fr/node/58251) 

 Définition

Le noyau ou solution fondamentale d'un opérateur différentiel (ou intégral) linéaire qui envoie des sources ou des données initiales vers des champs ; dans les contextes dépendant du temps il propage les conditions initiales ou impulsions selon des prescriptions causales ou de bord.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Un propagateur est l'inverse d'un opérateur linéaire restreint par des conditions aux bords ou de causalité ; les solutions des problèmes non homogènes s'obtiennent en convoluant le propagateur avec les sources, ou en l'appliquant aux données initiales pour produire l'évolution temporelle.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Le noyau thermique G(x,t;y,0) pour l'équation de la chaleur vérifie (∂_t - κΔ) G = δ(x-y)δ(t) avec conditions causales ; la température à l'instant t est la convolution ∫ G(x,t;y,0) u_0(y) dy du noyau avec les données initiales u_0.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Utiliser une fonction de Green calculée sans imposer les conditions aux bords ou de causalité pour un problème qui les exige, ce qui donne des solutions incorrectes, ou traiter des propagateurs comme valides pour des opérateurs non linéaires sans linéarisation.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

L'utilisation correcte des propagateurs fournit des représentations intégrales explicites des solutions, facilite les décompositions spectrales, les développements perturbatifs et fournit des noyaux pour l'évaluation numérique et analytique des fonctions de réponse et de corrélation.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Une solution homogène satisfait l'équation homogène associée et ne peut pas être obtenue uniquement par convolution avec un propagateur ; la superposition avec des solutions homogènes est nécessaire pour satisfaire complètement les conditions au bord/initiales.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S'applique aux opérateurs linéaires (elliptiques, paraboliques, hyperboliques) avec règles de bord ou de causalité spécifiées ; pour les problèmes non linéaires il faut linéariser ou employer des constructions de type Green non linéaires, et les sources distributionnelles demandent une régularisation soignée.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Étroitement lié aux fonctions de transfert et aux résolvantes dans le domaine fréquentiel ; les propagateurs sont des noyaux dans le temps ou l'espace respectant la causalité et les données de bord, tandis que les fonctions de transfert sont leurs transformées de Fourier et mettent en avant la réponse spectrale.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Un propagateur (fonction de Green) est le noyau opérateur qui inverse un opérateur différentiel linéaire sous contraintes de bord ou de causalité, permettant de construire des solutions par convolution avec des sources ou l'évolution de données initiales.