## [Multiplicité Algébrique (D'Une Valeur Propre)](/fr/node/58255) Définition La multiplicité algébrique d'une valeur propre λ d'un opérateur linéaire sur un espace vectoriel de dimension finie est sa multiplicité en tant que racine du polynôme caractéristique det(A − λI). ## Principe Principe Elle compte le nombre d'occurrences algébriques d'une valeur propre dans l'équation caractéristique et contraint les tailles des blocs de Jordan associés à cette valeur propre. ## Démonstration Démonstration Pour A = [[λ,1],[0,λ]] le polynôme caractéristique est (λ − λ)^2 donc λ a multiplicité algébrique 2 ; la matrice possède un unique bloc de Jordan de taille 2, montrant que la multiplicité algébrique dépasse la multiplicité géométrique (qui vaut 1). ## Mauvaise application Mauvaise application Supposer que la multiplicité algébrique égale le nombre de vecteurs propres linéairement indépendants (multiplicité géométrique) dans des cas non diagonalisables ; ou appliquer la notion telle quelle aux opérateurs en dimension infinie sans préciser la théorie spectrale. ## Conséquence Conséquence Connaître les multiplicités algébriques détermine la taille totale des espaces des généralisés vecteurs propres et, avec les multiplicités géométriques, fixe la forme normale de Jordan et le degré du polynôme minimal. ## Inversion Inversion La multiplicité géométrique est la dimension de l'espace propre ker(A − λI) ; elle est toujours ≤ multiplicité algébrique et lui est égale exactement lorsque l'opérateur est diagonalisable pour λ. ## Limite Limite La définition requiert un polynôme caractéristique : elle est intrinsèque pour les opérateurs en dimension finie sur des corps où le polynôme se factorise (typiquement corps algébriquement clos) ; pour des spectres continus ou des opérateurs en dimension infinie la notion est remplacée par des concepts de multiplicité spectrale. ## Tension sémantique Tension sémantique Multiplicité algébrique versus multiplicité spectrale/mesurée : la multiplicité algébrique est un comptage discret de racines en dimension finie, tandis que la multiplicité spectrale en analyse fonctionnelle décrit la multiplicité des sous-espaces invariants associés au spectre continu. ## Synthèse Synthèse La multiplicité algébrique mesure combien de facteurs (λ − λ0) apparaissent dans le polynôme caractéristique, déterminant le nombre total de vecteurs propres généralisés et contraignant la structure des blocs de Jordan, distincte mais liée à la multiplicité géométrique.