## [Régularité Elliptique](/fr/node/58306) Définition La régularité elliptique regroupe les résultats selon lesquels les solutions faibles d'équations aux dérivées partielles elliptiques sont en réalité plus régulières que prévu : si L est un opérateur différentiel elliptique à coefficients suffisamment réguliers et L u = f avec f lisse (ou dans un espace de Sobolev approprié), alors u hérite de dérivées supplémentaires selon la régularité des coefficients et du bord. ## Principe Principe L'ellipticité du symbole principal entraîne des estimations a priori qui contrôlent des dérivées d'ordre supérieur de la solution par des normes d'ordre inférieur des données ; des outils microlocaux et analytiques transforment le contrôle du second membre en accroissement de régularité de la solution (intérieur et, avec compatibilité aux limites, jusqu'au bord). ## Démonstration Démonstration Pour un opérateur uniformément elliptique du second ordre en forme divergence sur un domaine lisse, la solution faible donnée par Lax–Milgram dans H¹ appartient en fait localement à H² quand le second membre est en L² ; si les coefficients et f sont C^∞ alors u est C^∞ à l'intérieur du domaine (régularité intérieure). ## Mauvaise application Mauvaise application Attendre le même lissage pour des opérateurs non elliptique (hyperbolique ou elliptique dégénéré) ou pour des opérateurs elliptiques à coefficients rugueux sans adapter les espaces fonctionnels ; négliger la régularité du bord et les conditions de compatibilité peut invalider les conclusions jusqu'au bord. ## Conséquence Conséquence Permet l'itération (bootstrapping) de la régularité : une fois un gain de dérivées acquis, des applications répétées procurent une régularité plus élevée ; fonde le passage des solutions faibles à des solutions classiques et justifie les estimations elliptiques utilisées en EDP non linéaires et en géométrie. ## Inversion Inversion Les équations hyperboliques propagent les singularités le long des caractéristiques plutôt que de lisser ; inverser la régularité elliptique les oppose en termes de lissage contre transport des irrégularités au lieu de leur atténuation. ## Limite Limite La régularité elliptique intérieure requiert typiquement seulement l'ellipticité et la régularité des coefficients ; la régularité jusqu'au bord exige des conditions aux limites compatibles, la régularité du bord et le contrôle des données frontière — sans cela, les gains intérieurs peuvent ne pas s'étendre au bord. ## Tension sémantique Tension sémantique Régularité elliptique vs hypoellipticité : la régularité elliptique est une forme forte d'hypoellipticité pour les opérateurs elliptiques, mais les opérateurs hypoelliptiques peuvent induire un lissage sous des conditions de symbole plus faibles ; des distinctions apparaissent en microlocalité et en hypothèses requises. ## Synthèse Synthèse La régularité elliptique affirme que l'ellipticité transforme le contrôle des données en amélioration de la régularité des solutions : les solutions faibles des EDP elliptiques sont plus lisses à l'intérieur (et, sous compatibilité, jusqu'au bord), permettant de passer des solutions distributionnelles aux solutions classiques sous hypothèses appropriées.