##  [Nombre de Condition](/fr/node/58308) 

 Définition

Un scalaire quantifiant la sensibilité de la solution d'un problème aux perturbations des données ; pour une matrice inversible A et une norme donnée, la condition κ(A) = ||A|| · ||A^{-1}|| mesure l'amplification relative pire-cas des erreurs.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Le nombre de condition compare l'effet maximal à l'effet minimal des perturbations, identifiant un mauvais conditionnement lorsqu'un petit changement d'entrée provoque un grand changement relatif de la sortie.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Résolution de Ax = b : si κ(A) est grand, une petite perturbation relative de b ou des erreurs d'arrondi peuvent engendrer une erreur relative beaucoup plus importante sur x calculé ; pour une matrice diagonale avec 1 et 10^{-6}, κ ≈ 10^{6}.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Assimiler un petit nombre de condition à une garantie d'erreur directe petite indépendamment de l'algorithme ; la stabilité numérique de l'algorithme et le comportement d'arrondi déterminent aussi l'erreur réelle.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Les nombres de condition guident le choix de préconditionneurs, l'intensité de régularisation et le choix d'algorithmes ; ils prédisent (à stabilité algorithmique près) l'amplification d'erreur et motivent la reformulation du problème.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Le réciproque 1/κ mesure la robustesse numérique relative (bien conditionné) ; inverser la perspective met l'accent sur les problèmes où une petite incertitude d'entrée ne modifie pas significativement la sortie.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Défini pour opérateurs linéaires inversibles par rapport à une norme choisie ; pour des problèmes singuliers ou non linéaires on utilise des mesures généralisées de condition ou la linéarisation locale ; différentes normes donnent des valeurs différentes.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Lié mais distinct de la stabilité numérique : le nombre de condition est une propriété du problème mathématique, tandis que la stabilité est une propriété de l'algorithme qui le résout.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Le nombre de condition est le scalaire fondé sur une norme qui quantifie l'amplification des perturbations d'entrée par la transformation du problème, signalant un mauvais conditionnement pour κ grand et motivant préconditionnement ou reformulation.