##  [Calcul Lambda](/fr/node/58891) 

 Définition

Système formel pour exprimer le calcul fondé sur l'abstraction de fonction, l'application, la liaison de variables et la substitution ; il constitue un modèle de programmation minimal et la base du paradigme fonctionnel et de la théorie de la calculabilité.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Le calcul s'effectue par règles de transformation syntaxique : alpha-conversion (renommer les variables liées), bêta-réduction (substituer un argument à une variable liée dans le corps d'une fonction) et, parfois, êta-conversion (extensionalité) ; les fonctions sont des valeurs de premier ordre et il n'y a pas d'état intégré.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Avec les encodages de Church, les nombres naturels sont représentés comme des fonctions d'ordre supérieur (numéraux de Church) et l'addition se définit comme une composition d'abstractions lambda ; la bêta-réduction de (add 1 2) produit le numéral correspondant à 3.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Confondre égalité syntaxique et équivalence opérationnelle, omettre d'éviter la capture de variables lors de la substitution (ne pas effectuer d'alpha-conversion), ou s'attendre à des effets de bord et à un état mutable comme en impératif — cela mène à un raisonnement ou des programmes incorrects.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Un modèle compact et expressif qui caractérise la calculabilité, sous-tend les systèmes de types et les langages fonctionnels, et clarifie l'équivalence et la transformation de programmes via réductions et formes normales.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Un modèle impératif (par ex. machine de Turing avec bande mutable ou machine à registres avec état) qui met l'accent sur les mises à jour séquentielles d'état plutôt que sur l'application de fonctions par substitution.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Le calcul lambda pur et non typé omet types, données primitives et effets ; les langages pratiques ajoutent types, primitives et systèmes d'effets par-dessus la computation de style lambda pour gérer ressources et interactions avec l'environnement.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Le calcul lambda comme modèle abstrait du calcul versus son rôle comme syntaxe et sémantique concrètes d'un langage de programmation ; les variantes non typées et typées s'opposent aussi entre expressivité et sécurité.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Une algèbre dépouillée de fonctions où le calcul est conduit par substitution : on définit des fonctions par abstraction, on les applique à des arguments et on calcule en réduisant systématiquement les expressions, formant le noyau conceptuel de la computation fonctionnelle et de la calculabilité théorique.