##  [Variance](/fr/node/59230) 

 Définition

La valeur espérée du carré de l'écart d'une variable aléatoire à sa moyenne ; une mesure de dispersion dont les unités sont le carré des unités de la variable.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Variance = E[(X - E[X])^2] ; elle se décompose par la loi de la variance totale et est additive pour des variables indépendantes (Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y) si indépendantes).

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour un dé équilibré à six faces, X ∈ {1,...,6}, E[X]=3,5 et Var(X)=E[X^2]-(E[X])^2 = 35/12 ≈ 2,9167. Pour une variable de Bernoulli(p), Var(X)=p(1-p).

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Considérer la variance comme directement comparable à la dispersion typique sans tenir compte des unités au carré, utiliser incorrectement les formules de variance d'échantillon (confondre estimateurs biaisés et non biaisés), ou appliquer l'additivité lorsque les variables sont dépendantes.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

La variance quantifie la dispersion d'une façon bien adaptée aux opérations linéaires et aux approximations centrales ; elle sous-tend intervalles de confiance, tests d'hypothèse et mesures de risque, mais il faut se méfier des queues non gaussiennes.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Considérer la précision (inverse de la variance) comme mesure de concentration, ou utiliser la déviation absolue moyenne comme alternative mesurant l'écart typique sans mise au carré.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Définie lorsque le deuxième moment existe (E[X^2]<∞). Pour les lois à queues lourdes avec moment d'ordre deux infini, la variance est non définie ou infinie ; la variance ignore le signe des écarts et est sensible aux valeurs aberrantes.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

La variance est une mesure de dispersion quadratique mathématiquement commode mais peut être en tension avec la notion intuitive d'« erreur typique » — l'écart-type ou la déviation médiane absolue peuvent mieux refléter la taille typique des écarts dans certains contextes.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

La variance est la mesure quadratique de dispersion obtenue en moyennant les écarts au carré ; utile algébriquement et essentielle en probabilités linéaires, mais son interprétation impose de considérer les unités et l'existence des moments.