##  [Axiome D'Extensionalité](/fr/node/59258) 

 Définition

Un axiome fondamental de la théorie des ensembles affirmant que deux ensembles sont identiques précisément lorsqu'ils ont les mêmes éléments : pour tout ensembles A et B, A = B si et seulement si tout x appartient à A exactement quand x appartient à B.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

L'identité d'un ensemble est entièrement déterminée par son extension (l'ensemble de ses éléments) ; l'égalité des appartenances suffit à établir l'égalité des ensembles.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Soient A = {1,2} et B = {2,1}. Vérifier les appartenances : 1 ∈ A ⇔ 1 ∈ B et 2 ∈ A ⇔ 2 ∈ B ; donc A = B par extensionalité.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Appliquer l'extensionalité à des structures non pures comme les multisets (où la multiplicité compte), les suites ordonnées (où l'ordre compte), ou des objets typés dont l'identité inclut des données supplémentaires ; ou supposer qu'elle permet d'identifier des présentations syntactiques différentes dans des théories intensionales.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Permet un raisonnement élément par élément sur l'égalité : prouver que deux ensembles coïncident revient à montrer l'inclusion mutuelle ; elle fonde le remplacement dans les assertions d'appartenance et de nombreuses démonstrations d'unicité.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Point de vue intensional : deux descriptions ou constructions distinctes d'un ensemble peuvent être traitées comme différentes même si elles ont les mêmes éléments (théorie qui distingue les ensembles par présentation plutôt que par extension).

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S'applique dans des théories axiomatiques des ensembles qui prennent les ensembles comme entités extensives (par ex. ZF). Ne s'applique pas à l'identité dans des contextes où des données supplémentaires importent (multisets, tuples ordonnés, certaines théories de types intensionales) ni nécessairement aux classes propres sans axiome d'identité analogue.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

L'extensionalité (égalités d'ensembles par éléments) est en tension avec les notions intensionnelles d'identité (où la représentation, l'ordre, la multiplicité ou la construction distinguent les objets) ; le terme « extensionnel » peut aussi désigner l'égalité d'extensions de prédicats en logique, lié mais distinct.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

L'extensionalité consigne l'idée que, dans une ontologie purement ensembliste, un ensemble ne se réduit qu'à ses membres : l'égalité se ramène à l'appartenance mutuelle, ce qui facilite les preuves élémentaires d'identité tout en excluant les contextes où la structure supplémentaire décide de l'identité.