##  [Preuve par Contraposition](/fr/node/59260) 

 Définition

Une technique de preuve qui établit une implication P ⇒ Q en prouvant sa contraposition ¬Q ⇒ ¬P à la place ; puisque l'implication est classiquement équivalente à sa contraposition, démontrer cette dernière suffit pour conclure la première.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Exploiter l'équivalence logique (classique) entre une implication et sa contraposition : prouver que ¬Q implique ¬P offre une voie alternative pour démontrer P implique Q, souvent en simplifiant l'argument.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour montrer : si n^2 est pair alors n est pair. Contraposition : si n est impair (c'est-à-dire ¬(n est pair)), alors n^2 est impair (¬(n^2 est pair)). Prouver la contraposition en écrivant n = 2k+1 et en développant n^2 donne l'implication initiale.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Tenter de justifier une implication dans des logiques où la contraposition n'est pas réciproquement dérivable (par ex. utiliser ¬Q ⇒ ¬P pour affirmer P ⇒ Q en logique intuitionniste sans justification supplémentaire), ou confondre contraposition et converse (Q ⇒ P).

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Fournit une voie de preuve standard et souvent plus simple pour de nombreux théorèmes classiques ; peut transformer des preuves directes compliquées en preuves universelles plus simples et parfois donner des informations constructives sur les assertions niées.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Une preuve directe de P ⇒ Q ou une preuve par contradiction (supposer P et ¬Q puis obtenir une contradiction) sont des stratégies alternatives ; la preuve par contraposition peut souvent se ramener à un bref argument par contradiction.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S'appuie sur le raisonnement propositionnel classique pour l'équivalence des formes ; bien que P ⇒ Q entraîne toujours ¬Q ⇒ ¬P en logique intuitionniste, obtenir P ⇒ Q à partir de ¬Q ⇒ ¬P nécessite en général des principes classiques (par ex. le tiers exclu). Elle présuppose aussi une négation classique et la bivalence pour les prédicats concernés.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

On confond souvent contraposition et converse (Q ⇒ P). Il existe aussi une tension entre l'usage de la contraposition en contextes classiques et constructifs : équivalentes classiquement, elles ne le sont pas symétriquement constructivement.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

La preuve par contraposition recompose une implication en une cible logiquement équivalente potentiellement plus simple à démontrer ; c'est une technique classique qui échange P ⇒ Q contre ¬Q ⇒ ¬P en gardant la précaution des conditions constructives et de la distinction avec la converse.