##  [Homomorphisme](/fr/node/59339) 

 Définition

Une application entre structures algébriques qui préserve les opérations et relations spécifiées par ces structures (par ex. f(ab)=f(a)f(b) pour les homomorphismes de groupes).

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Un homomorphisme respecte les opérations définissantes d'une structure de sorte que les identités et relations algébriques du domaine se transforment en identités valides dans le codomaine.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Homomorphisme de groupes : φ: G → H avec φ(ab)=φ(a)φ(b) ; ker(φ) est un sous-groupe normal et im(φ) est un sous-groupe de H. Un homomorphisme d'anneaux préserve addition, multiplication et l'unité multiplicative si requis.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Supposer sans preuve qu'un homomorphisme est injectif ou surjectif ; supposer qu'il préserve une structure auxiliaire non spécifiée (ex. topologie ou ordre) ou que les noyaux se scindent toujours.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Noyaux et images donnent des sous-structures et permettent la formation de quotients ; les homomorphismes organisent les objets en suites exactes et permettent le transfert d'informations algébriques.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Une fonction arbitraire qui ignore les opérations n'est pas un homomorphisme ; une bijection qui ne préserve pas les opérations non plus.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Dépend des opérations et relations spécifiées ; ce qui compte comme 'préservation' doit être explicité (groupes vs anneaux vs modules). En langage catégorique un homomorphisme est un type particulier de morphisme défini par la catégorie algébrique.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

'Préservation de la structure' est un terme large — l'homomorphisme met l'accent sur les opérations algébriques, tandis que l'isomorphisme exige l'inversibilité ; confusion fréquente entre homomorphisme et plongement (injectivité).

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Un homomorphisme est la flèche qui transmet la structure algébrique d'un objet à un autre en convertissant les opérations et relations du domaine en opérations et relations valides du codomaine.