Eine Funktion f zwischen metrischen Räumen ist Lipschitz-stetig, wenn es eine Konstante L≥0 gibt, sodass für alle x,y die Distanz zwischen f(x) und f(y) höchstens L-mal die Distanz zwischen x und y beträgt.

Prinzip

Beschränkte Änderungsrate: Eine globale Lipschitz-Konstante beschränkt, wie schnell die Funktion bezüglich der Eingabemetrik ändern kann, und liefert gleichmäßige Kontrolle über Ausgabeunterschiede.

Demonstration

Eine lineare Abbildung dargestellt durch eine Matrix mit Operatornorm L ist auf dem euklidischen Raum Lipschitz mit Konstante L: ||Ax−Ay|| ≤ ||A||·||x−y|| für alle x,y.

Fehlanwendung

Lipschitz-Stetigkeit allein aus Differenzierbarkeit abzuleiten, ohne eine uniforme Schranke der Ableitung, oder lokale Lipschitz-Stetigkeit mit globaler auf einem unbeschränkten Gebiet zu verwechseln.

Konsequenz

Lipschitz-Abbildungen sind gleichmäßig stetig und erhalten Cauchy-Folgen; in der ODE-Theorie garantiert eine lokale Lipschitz-Bedingung auf dem Vektorfeld die Eindeutigkeit der Lösungen durch Picard-Iteration.

Umkehrung

Eine bloß stetige Funktion mit beliebig steilen Steigungen (z. B. stetig, aber nirgends differenzierbar mit unbeschränkter lokaler Oszillation) — ihr fehlt eine uniforme Schranke auf die Änderungsrate.

Abgrenzung

Unterscheidet global versus lokal: Eine Funktion kann lokal Lipschitz sein, aber nicht auf einem unbeschränkten Gebiet; die Eigenschaft hängt von den gewählten metrischen Räumen ab und verlangt keine Differenzierbarkeit.

Semantische Spannung

Hölder-Stetigkeit versus Lipschitz-Stetigkeit: Hölder mit Exponent α∈(0,1) schwächt die lineare Schranke zu einer Potenzgesetze; Lipschitz entspricht Hölder mit Exponent 1 und ist strikt stärker.

Synthese

Lipschitz-Stetigkeit ist eine uniforme Schranke für die Änderungsrate einer Funktion in einem metrischen Raum: Es gibt eine Konstante L, sodass Abstandsänderungen der Bilder nie L-mal die Abstandsänderungen der Urbilder übersteigen, wodurch starke Regularität und Stabilität gewährleistet werden.