Eine Identität der komplexen Analysis, die den Wert einer holomorphen Funktion (und ihrer Ableitungen) an einem Inneren Punkt einer einfach geschlossenen Kurve als Kurvenintegral der Funktion über diese Kurve darstellt.

Prinzip

Ist eine Funktion auf und in einer positiv orientierten einfach geschlossenen Kontur holomorph, so gilt für jeden inneren Punkt z0: f(z0) = (1/2πi)∮ f(z)/(z−z0) dz; höhere Ableitungen erhält man durch Differentiation unter dem Integralzeichen.

Demonstration

Für f(z)=1 auf einem Kreis mit Zentrum z0 ist (1/2πi)∮ f(z)/(z−z0) dz = 1 nach Parametrisierung und liefert f(z0). Für ein Polynom reproduziert die Formel über Residuen die Koeffizienten exakt.

Fehlanwendung

Die Formel auf eine Kontur anzuwenden, die Singularitäten von f einschließt, oder auf nicht-holomorphe Funktionen im Inneren führt zu fehlerhaften Werten; das Weglassen der Orientierung oder von Verzweigungsschnitten kann Vorzeichenfehler verursachen.

Konsequenz

Die Formel liefert Mittelwerteigenschaften, beweist sofort die unendliche Differenzierbarkeit holomorpher Funktionen und bietet explizite Integralrepräsentationen für Abschätzungen und Fortsetzungsergebnisse.

Umkehrung

Die Umkehrung würde behaupten, dass Randintegrale das Innenverhalten nur bestimmen, wenn Holomorphie fehlt; ohne Holomorphie kontrollieren Randintegrale die Innenwerte nicht.

Abgrenzung

Erfordert Holomorphie in einer Umgebung der geschlossenen Kontur und gilt für einfach geschlossene Kurven in der komplexen Ebene; auf nicht einfach zusammenhängenden Gebieten oder bei inneren Singularitäten ist eine Anpassung nötig.

Semantische Spannung

In der Nähe steht der Residuensatz, der Integrale mit Singularitäten verallgemeinert; Cauchys Formel ist der Spezialfall ohne Innen-Singularitäten und liefert punktweise Werte statt Residuen-Summen.

Synthese

Cauchys Integralformel verbindet punktweise Werte und Ableitungen einer holomorphen Funktion mit ihren Randintegralen und zeigt, wie komplexe Analytizität Konturdaten in exakte Inneninformation umsetzt.