Eine bijektive gebrochen-lineare Abbildung der erweiterten komplexen Ebene der Form z ↦ (a z + b)/(c z + d) mit a d − b c ≠ 0; sie wirkt auf der Riemannschen Kugel und sendet verallgemeinerte Kreise (Kreise oder Geraden) auf verallgemeinerte Kreise.

Prinzip

Die Menge dieser Abbildungen bildet eine Gruppe konformer Automorphismen der Riemannschen Kugel; sie erhält das Doppelverhältnis und lokale Winkel und komponiert sich durch Multiplikation 2×2-komplexer Matrizen bis auf Skalarfaktoren.

Demonstration

Die Abbildung z ↦ (z−i)/(z+i) sendet die obere Halbebene auf die Einheitskreisscheibe und bildet Randpunkte der reellen Achse auf den Einheitskreis ab; drei verschiedene Punkte der Kugel lassen sich durch eine geeignete Möbius-Abbildung auf drei beliebige andere Punkte abbilden.

Fehlanwendung

Aus einem Ausdruck (a z + b)/(c z + d) ohne Prüfung von a d − b c ≠ 0 global einen holomorphen Automorphismus folgern (singuläre Matrix) oder den Punkt übersehen, an dem der Nenner verschwindet, wodurch Pole und Bijektivität falsch eingeschätzt werden.

Konsequenz

Richtig angewandt linearisiert eine Möbius-Transformation viele geometrische Bedingungen auf der Kugel, liefert eine Parametrisierung aller konformen Selbstabbildungen und ermöglicht die Reduktion von Randwertproblemen durch Abbildung auf kanonische Gebiete.

Umkehrung

Die Beschränkung auf affine Abbildungen (c = 0) liefert Translationen, Skalierungen und Drehungen in der Ebene — eine echte Teilmenge, die die Freiheit verliert, Unendlichkeit auf einen endlichen Punkt abzubilden; im Gegensatz dazu sind rationale Abbildungen höheren Grades nicht invertierbar und erhalten nicht das Doppelverhältnis.

Abgrenzung

Definiert als Abbildung der erweiterten komplexen Ebene C∪{∞}; nicht jede rationale Funktion ist eine Möbius-Abbildung, und Möbius-Abbildungen sind nicht als holomorphe Selbstabbildungen von C definiert, ohne den Punkt ∞ einzuschließen, wenn c ≠ 0.

Semantische Spannung

Wird oft mit allgemeinen rationalen Funktionen ersten Grades in der formalen Algebra verwechselt; die Spannung besteht darin, dass nur solche mit nichtverschwindendem Determinanten bijektive konforme Automorphismen der Kugel sind, nicht bloß lineare-fraktionale Ausdrücke.

Synthese

Eine Möbius-Transformation ist die Klasse nichtdegenerierter linear-fraktionaler Abbildungen der Riemannschen Kugel, die Winkel und Doppelverhältnis erhalten und eine matrixdarstellbare Gruppe konformer Automorphismen bilden.