Eine Folge (x_n) in einem metrischen Raum (X,d) ist eine Cauchy-Folge, wenn für jedes ε>0 ein N existiert, so dass für alle m,n≥N gilt d(x_m,x_n)<ε; die Folgenglieder werden mit wachendem Index paarweise beliebig nahe.

Prinzip

Prüft die Vollständigkeit intrinsisch: ein metrischer Raum ist genau dann vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in diesem Raum konvergiert; Cauchy-Folgen detektieren fehlende Grenzpunkte und motivieren Komplettierungen.

Demonstration

In den reellen Zahlen mit der üblichen Metrik konvergiert jede Cauchy-Folge gegen einen reellen Grenzwert; dagegen enthalten die rationalen Zahlen Q Cauchy-Folgen (z. B. Approximationen von √2), die in Q nicht konvergieren, wohl aber in R.

Fehlanwendung

Anzunehmen, dass eine Cauchy-Folge in einem Teilraum automatisch in diesem Teilraum konvergiert, ohne Vollständigkeit zu prüfen (z. B. eine Cauchy-Folge in Q als in Q konvergent zu behandeln).

Konsequenz

Ermöglicht die Konstruktion von Komplettierungen (Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen) und bildet die Grundlage vieler Konvergenzargumente in Analysis und Funktionalanalysis, indem interne Approximation von Existenz von Grenzwerten getrennt wird.

Umkehrung

Folgen mit Häufungspunkten, die nicht Cauchy sind (z. B. x_n = (−1)^n), haben nicht die Eigenschaft, dass ihre Glieder paarweise beliebig nahe werden; Beschränktheit impliziert nicht die Cauchy-Eigenschaft.

Abgrenzung

Die Definition hängt von der Metrik (oder der uniformen Struktur) ab; in allgemeinen topologischen Räumen können Folgen unzureichend sein, um Vollständigkeit zu erkennen, und man verwendet Cauchy-Netze oder -Filter in uniformen Räumen.

Semantische Spannung

Wird oft mit Konvergenz verwechselt; in nicht vollständigen Räumen unterscheiden sich Cauchy- und konvergente Folgen — deren Verwechslung verschleiert die Notwendigkeit, die Vollständigkeit des umgebenden Raums zu prüfen.

Synthese

Eine Cauchy-Folge ist eine Folge, deren Glieder schließlich paarweise beliebig nahe werden; sie ist die interne Konsistenzprüfung, die zeigt, ob der umgebende Raum seine Grenzpunkte enthält.