Eine Basis eines Vektorraums, die aus Eigenvektoren eines linearen Operators besteht, so dass der Operator bezüglich dieser Basis diagonal wirkt.

Prinzip

Ist ein linearer Operator diagonaliserbar, existiert ein vollständiges System linear unabhängiger Eigenvektoren, dessen Spann gleich dem Raum ist; für normale selbstadjungierte Operatoren lässt sich eine orthonormale Eigenbasis wählen (Spektralsatz).

Demonstration

Der Laplace-Operator auf dem Kreis hat eine Eigenbasis aus komplexen Exponentialen e^{ikθ}; die Darstellung einer Funktion in dieser Basis diagonalisiert den Laplace-Operator und wandelt PDG in algebraische Beziehungen für die Koeffizienten um.

Fehlanwendung

Die Annahme, jede nicht-diagonalisierbare Matrix habe eine Eigenbasis, und der Versuch, sie zu diagonalisiere, ohne Jordanketten und verallgemeinerte Eigenvektoren zu berücksichtigen.

Konsequenz

Eine Eigenbasis reduziert lineare Dynamiken auf unabhängige skalare Entwicklungen entlang der Eigenvektoren, vereinfacht spektrale Zerlegungen und ermöglicht effiziente Rechnungen wie modale Abschneidung und diagonale Exponentiation.

Umkehrung

Fehlt eine vollständige Eigenbasis, verwendet man eine Jordan-Basis aus verallgemeinerten Eigenvektoren oder die singulärwertzerlegung, die orthogonale Modi für nicht-normale Operatoren liefert, aber keine echten Eigenvektoren zur Diagonalisierung.

Abgrenzung

Existenz hängt vom Operator und dem zugrundeliegenden Körper ab: in endlichen Dimensionen erfordert Diagonalisierbarkeit, dass algebraische Vielfachheiten geometrischen Vielfachheiten entsprechen; in unendlichen Dimensionen sind Vollständigkeit und Orthogonalität an zusätzliche Spektralbedingungen gebunden.

Semantische Spannung

Wird oft mit Singulärvektoren der SVD verwechselt: Singulärvektoren diagonalisiseren einen zugehörigen positiven Operator und sind für beliebige Matrizen orthogonal, während Eigenvektoren den ursprünglichen Operator diagonalisiseren, aber bei nicht-normalen Operatoren nicht orthogonal sein müssen.

Synthese

Eine Eigenbasis ist eine vollständige Menge von Eigenvektoren, die Koordinaten liefert, in denen ein diagonalisierbarer linearer Operator durch skalare Multiplikation wirkt und so Dynamiken und Operatoren in unabhängige modale Beiträge zerlegt.