Ein Verfahren zur Bestimmung einer Partikulärlösung einer linearen inhomogenen gewöhnlichen Differentialgleichung, indem die Konstanten der allgemeinen homogenen Lösung als Funktionen der unabhängigen Variablen betrachtet werden und diese Funktionen unter Zusatzbedingungen (oft mit dem Wronski) gelöst werden. Es gilt für lineare DGLn mit variablen oder konstanten Koeffizienten.

Prinzip

Die lineare Superposition nutzen, indem konstante Koeffizienten der homogenen Lösung durch unbekannte Funktionen ersetzt werden, Nebenbedingungen einsetzen, um Ableitungen dieser Funktionen zweckmäßig zu eliminieren, und das resultierende System mittels Integralen lösen, die die Fundamentalsystemlösungen und den Antriebsterm geteilt durch den Wronski enthalten.

Demonstration

Für eine zweite Ordnung mit Fundamentalsystem y1,y2 und Antrieb f(t) kann eine Partikulärlösung geschrieben werden als y_p = -y1 ∫ (y2 f/W) dt + y2 ∫ (y1 f/W) dt, wobei W der Wronski von y1,y2 ist. Die Integrale liefern explizite Partikulärlösungen, wenn sie berechenbar sind.

Fehlanwendung

Variation der Parameter anzuwenden, ohne zuvor ein linear unabhängiges Fundamentalsystem der homogenen Gleichung zu verifizieren, oder bei nichtlinearen Gleichungen; das Nichtprüfen auf Nullstellen des Wronski im Intervall führt zu ungültigen Integralen.

Konsequenz

Ein breit anwendbares konstruktives Verfahren, das Partikulärlösungen liefert, wenn Fundamentalsystemlösungen bekannt sind; funktioniert für veränderliche Koeffizienten und Antriebe außerhalb der speziellen Familien, die durch unbestimmte Koeffizienten behandelbar sind.

Umkehrung

Wenn der Antrieb eine einfache zulässige Form hat und Koeffizienten konstant sind, die Methode der unbestimmten Koeffizienten für einen algebraischen Weg verwenden; bei anderer Struktur sind Greensche Funktionen oder Integraltransformationen Alternativen.

Abgrenzung

Voraussetzung ist die Kenntnis eines Fundamentalsystems homgener Lösungen und ein auf dem betrachteten Intervall nicht verschwindender Wronski; die Integrale können geschlossenformlich unzugänglich sein und nur als unbestimmte Integrale darstellbar sein.

Semantische Spannung

„Variation der Konstanten/Parameter“ versus „Methode der unbestimmten Koeffizienten“ — beide finden Partikulärlösungen, unterscheiden sich jedoch in Allgemeinheit und Rechenform (Integral vs. algebraischer Ansatz) und können in ihrem Anwendungsbereich überlappen.

Synthese

Variation der Parameter wandelt die Suche nach einer Partikulärlösung in das Lösen zeitabhängiger Koeffizienten multipliziert mit bekannten homogenen Lösungen um; durch Zusatzbedingungen und Integration von Kombinationen mit dem Wronski und dem Antrieb liefert sie Partikulärlösungen, auch für variable Koeffizienten linearer DGLn.