Eine Abbildung zwischen algebraischen Strukturen, die die durch diese Strukturen vorgegebenen Operationen und Relationen erhält (z. B. f(ab)=f(a)f(b) bei Gruppenhomomorphismen).

Prinzip

Ein Homomorphismus respektiert die definierenden Operationen einer Struktur, sodass algebraische Identitäten und Relationen der Quelle in gültige Identitäten im Ziel überführt werden.

Demonstration

Gruppenhomomorphismus: φ: G → H mit φ(ab)=φ(a)φ(b); ker(φ) ist eine normale Untergruppe und im(φ) ist eine Untergruppe von H. Ringhomomorphismen erhalten Addition, Multiplikation und das multiplikative Einselement, wenn gefordert.

Fehlanwendung

Ohne Beweis von Injektivität oder Surjektivität eines Homomorphismus auszugehen; anzunehmen, er erhalte zusätzliche nicht spezifizierte Strukturen (z. B. Topologie oder Ordnung) oder dass Kerne stets zerfallen.

Konsequenz

Kerne und Bilder liefern Unterstrukturen und erlauben die Bildung von Quotientenstrukturen; Homomorphismen ordnen Objekte in exakten Sequenzen und erlauben den Transfer algebraischer Informationen.

Umkehrung

Eine beliebige Funktion, die die Operationen ignoriert, ist kein Homomorphismus; auch eine Bijektion, die die Operationen nicht erhält, ist keiner.

Abgrenzung

Hängt von den festgelegten Operationen und Relationen ab; was unter 'Erhaltung' zu verstehen ist, muss explizit gemacht werden (Gruppen vs Ringe vs Moduln). In der kategorientheoretischen Sprache ist ein Homomorphismus ein spezieller Morphismus, definiert durch die algebraische Kategorie.

Semantische Spannung

'Strukturerhalt' ist ein weiter Begriff — Homomorphismus betont Erhalt algebraischer Operationen, während Isomorphismus Invertierbarkeit verlangt; Verwechslung von Homomorphismus und Einbettung (Injektivität) ist häufig.

Synthese

Ein Homomorphismus ist die Abbildung, die algebraische Struktur von einem Objekt auf ein anderes überträgt, indem Operationen und Relationen der Quelle in gültige Operationen und Relationen des Ziels umgewandelt werden.