Eine injektive, struktur­erhaltende Abbildung von einem Objekt in ein anderes, die die Quelle als Unterobjekt des Ziels identifiziert, wobei häufig zusätzlich Reflexionseigenschaften verlangt werden (oft als injektiver Morphismus mit Zusatzbedingungen).

Prinzip

Eine Einbettung injiziert und reflektiert Struktur: Sie realisiert die Quelle konkret im Ziel, sodass die Struktur der Quelle genau mit der auf dem Bild induzierten Struktur übereinstimmt.

Demonstration

Einbettung einer Untergruppe: ein injektiver Gruppenhomomorphismus i: H → G, der H mit einer Untergruppe von G identifiziert. Topologische Einbettung: f: X → Y ist stetig, injektiv und ein Homöomorphismus auf sein Bild mit der Teilraumtopologie.

Fehlanwendung

Jede injektive Abbildung ohne Prüfung, ob das Bild die Struktur der Quelle erbt, als Einbettung zu bezeichnen (z. B. eine injektive stetige Abbildung, die kein Homöomorphismus auf ihr Bild ist, ist keine topologische Einbettung).

Konsequenz

Eine Einbettung erlaubt, die Quelle als echtes Unterobjekt des Ziels zu betrachten, was den Transfer von Eigenschaften, Erweiterungsargumente und die Nutzung der Umgebungstruktur ermöglicht.

Umkehrung

Ein Quotient oder eine Projektion identifiziert Elemente, statt sie injektiv einzuschließen; ein nicht-injektiver Homomorphismus kann keine Einbettung sein.

Abgrenzung

Die formale Bedeutung hängt von der Kategorie ab: häufig sind Injektivität und dass der Morphismus ein Monomorphismus bzw. regulärer/initialer Monomorphismus ist, gefordert; in manchen Kontexten verlangt man abgeschlossenes/dichtes Bild oder Homöomorphie auf das Bild. Nicht jede injektive Abbildung ist eine Einbettung.

Semantische Spannung

Injektion versus Einbettung: Injektion ist eine mengen-theoretische Eigenschaft, Einbettung ist strukturell und kann zusätzliche Reflexions- bzw. topologische Forderungen erfordern; Verwechslungen zwischen Einbettung, Immersion und Homöomorphie in der Geometrie sind häufig.

Synthese

Eine Einbettung ist die struktur­erhaltende Inklusion, die ein Objekt durch Injektivität plus zusätzliche Reflexionsbedingungen konkret im anderen realisiert, sodass die induzierte Struktur mit der Quellstruktur übereinstimmt.